§ 56. Закон Кулона

Определения и обозначения

Точечный заряд — заряженное тело, размерами которого в условиях задачи можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел. Иными словами, вместо распределения заряда по телу рассматривают одну условную точку. Такая модель упрощает расчёт взаимодействия. Она подходит, когда расстояние между телами намного больше их размеров.

Закон Кулона утверждает, что сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Пропорциональность означает, что изменение одной величины предсказуемо меняет другую. Закон нужен, чтобы количественно рассчитывать электростатическое взаимодействие. Он применим при соблюдении условий о неподвижности зарядов и их точечной модели.

Электростатическая сила — сила взаимодействия неподвижных электрических зарядов; её направление совпадает с прямой, соединяющей заряды. Она может вызывать притяжение или отталкивание. Это понятие помогает отделить модуль силы, который вычисляют по формуле, от её направления. Направление выясняют по знакам взаимодействующих зарядов.

Электрическая постоянная ε₀ — физическая постоянная, входящая в запись закона Кулона через коэффициент 1/(4πε₀). Она задаёт величину коэффициента для вакуума. В другой записи закона вместо этого коэффициента используют k = 1/(4πε₀). Таким образом, обе формы формулы выражают один и тот же закон.

Как это устроено

Реальные тела имеют размеры, а заряд может быть распределён по их поверхности или объёму. Если размеры малы по сравнению с расстоянием между телами, различиями между отдельными участками можно пренебречь: вклад каждого участка практически не меняет общий результат относительно расчёта для одной точки. Поэтому тело заменяют точечным зарядом. Чем ближе тела друг к другу или чем они крупнее, тем менее надёжно такое приближение; тогда нужно учитывать распределение заряда.

В формуле сила пропорциональна произведению |q₁q₂|. Это значит, что при неизменном втором заряде увеличение модуля первого в несколько раз увеличивает силу во столько же раз: например, удвоение одного заряда удваивает модуль взаимодействия. Причина в том, что больший заряд создаёт более сильное электрическое взаимодействие с другим зарядом. Если увеличить оба модуля вдвое, произведение вырастет в четыре раза, и сила тоже вырастет в четыре раза.

Расстояние входит в знаменатель в квадрате: F ∝ 1/r². Поэтому при увеличении расстояния в n раз знаменатель увеличивается в n² раз, а сила становится в n² раз меньше. Например, при утроении расстояния сила уменьшается в девять раз. Такое изменение быстрее, чем при зависимости 1/r: на большом удалении взаимодействие ослабевает особенно заметно.

Направление взаимодействия определяется знаками зарядов, а не формулой для модуля. Одноимённые заряды отталкиваются, поэтому сила на каждом направлена от другого заряда; разноимённые притягиваются, и сила направлена к другому. В обоих случаях силы лежат на прямой, соединяющей заряды. Они приложены к разным зарядам и направлены противоположно друг другу.

Модуль силы можно записать как F = k|q₁q₂|/r² или F = |q₁q₂|/(4πε₀r²). Здесь q₁ и q₂ — заряды в кулонах (Кл), r — расстояние в метрах (м), F — сила в ньютонах (Н), ε₀ — электрическая постоянная, а k = 1/(4πε₀) ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл². В расчётах важно привести величины к этим единицам. Например, 1 мкКл = 10⁻⁶ Кл.

Закон Кулона: условия, величины и характер взаимодействия

Сначала проверьте по первой строке, подходит ли модель точечных зарядов и выполняются ли условия закона. Затем выберите строку с формулой и проверьте единицы, а направление установите по знакам зарядов. Таблица помогает не смешивать вычисление модуля силы с определением того, притягиваются заряды или отталкиваются.

Разбор задач

Задача 1. Два точечных заряда 2 мкКл и 3 мкКл находятся в вакууме на расстоянии 0,30 м. Найдите модуль силы взаимодействия. Поскольку заряды заданы в микрокулонах, перед подстановкой переведём их в кулоны. Используем k ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл².

1. Переводим заряды: q₁ = 2·10⁻⁶ Кл, q₂ = 3·10⁻⁶ Кл.
2. Записываем закон для модуля: F = k|q₁q₂|/r².
3. Подставляем: F = 9·10⁹·(2·10⁻⁶·3·10⁻⁶)/(0,30)² = 0,60 Н.

В произведении зарядов получается 6·10⁻¹² Кл², а квадрат расстояния равен 0,09 м². Поэтому результат выражен в ньютонах. Ответ: модуль силы равен 0,60 Н.

Задача 2. Сила взаимодействия зарядов на расстоянии 0,20 м равна 0,45 Н. Какой станет сила, если расстояние увеличить до 0,60 м, не меняя заряды? Новое расстояние больше исходного в три раза. Поскольку сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, понадобится квадрат этого отношения.

1. Находим отношение расстояний: 0,60/0,20 = 3.
2. Сила уменьшится в 3² = 9 раз.
3. Вычисляем новую силу: F₂ = 0,45/9 = 0,05 Н.

Заряды не изменились, поэтому на изменение силы влияет только расстояние. Проверка здравого смысла: при увеличении расстояния сила должна стать меньше. Ответ: 0,05 Н.

Задача 3. Заряды +2 мкКл и −3 мкКл расположены на расстоянии 0,40 м. Определите модуль силы и укажите её направление для каждого заряда. Сначала вычислим модуль, используя абсолютные значения зарядов, а затем отдельно определим направление по знакам. Заряды разноимённые, значит, они притягиваются.

1. Переводим заряды: q₁ = 2·10⁻⁶ Кл, q₂ = −3·10⁻⁶ Кл.
2. Подставляем модули: F = 9·10⁹·|2·10⁻⁶·(−3·10⁻⁶)|/(0,40)² ≈ 0,34 Н.
3. На заряд +2 мкКл сила направлена к заряду −3 мкКл; на заряд −3 мкКл — к заряду +2 мкКл.

Обе силы имеют одинаковый модуль и противоположные направления, поскольку каждая действует на свой заряд. Минус в значении заряда задаёт знак, но не делает модуль силы отрицательным. Ответ: F ≈ 0,34 Н; заряды притягиваются.

Типичные ошибки

Подставлять заряд в микрокулонах без перевода в кулоны. Так делают, потому что приставка «микро» легко теряется при записи условия. Ошибка особенно велика: один микрокулон равен 10⁻⁶ Кл, а произведение двух зарядов содержит множитель 10⁻¹². Перед вычислением запишите перевод каждого заряда отдельно и проверьте, что все значения даны в требуемых единицах.

Брать расстояние между поверхностями тел вместо расстояния между зарядами или их центрами. Поверхности не всегда показывают, насколько далеко находятся точки, в которых сосредоточены заряды. В модели точечных тел измеряют расстояние между точечными зарядами, а для подходящих симметричных тел используют расстояние между центрами. Проверьте, какая именно модель указана в задаче, и не смешивайте промежуток между поверхностями с расстоянием между точками.

Считать зависимость от расстояния как 1/r. Это возникает, когда забывают возвести расстояние в квадрат. Тогда, например, при удвоении расстояния ошибочно получают уменьшение силы вдвое, хотя по закону Кулона она падает в четыре раза. Для самопроверки выпишите отношение квадратов расстояний до вычислений: F₂/F₁ = r₁²/r₂².

Считать, что знак произведения зарядов делает модуль силы отрицательным. Минус часто появляется при умножении разноимённых зарядов, но он указывает на сочетание знаков, а не на отрицательный модуль. В формулу модуля подставляют |q₁q₂|, получая неотрицательную величину. Затем знаки зарядов используют отдельно, чтобы определить притяжение или отталкивание.

Связь с другими темами

Перед изучением закона Кулона нужно знать, что такое электрический заряд, различать его положительный и отрицательный знаки и помнить единицу измерения — кулон. Эти сведения позволяют понять, какие значения подставлять в формулу и как по знакам определить характер взаимодействия. Без перевода зарядов в кулоны расчёт даст неверный результат. Умение работать с квадратом расстояния также помогает правильно сравнивать силы.

Закон Кулона понадобится при изучении электрического поля: взаимодействие зарядов помогает перейти от силового описания к полю вокруг заряженного тела. В частности, формула используется при разборе напряжённости поля точечного заряда. Позже принцип суперпозиции позволит находить результат действия нескольких зарядов. Тогда закон Кулона применяют к каждому взаимодействию, а полученные вклады учитывают совместно.

Что запомнить

• Закон Кулона описывает взаимодействие неподвижных точечных зарядов.
• Модуль силы пропорционален произведению модулей зарядов.
• Модуль силы обратно пропорционален квадрату расстояния между зарядами.
• Сила направлена вдоль прямой, соединяющей заряды.
• Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются.
• В вакууме F = k|q₁q₂|/r², где k ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл².