§ 59. Закон Кулона

Определения и обозначения

Электрический заряд — физическая величина, характеризующая способность тел участвовать в электрическом взаимодействии. Его обозначают q, а единица измерения в СИ — кулон (Кл). Заряд может быть положительным или отрицательным, а его значение позволяет количественно описать взаимодействие. Поэтому перед расчётом силы нужно знать величины зарядов и их знаки.

Точечный заряд — заряд тела, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел. Это не обязательно означает, что тело физически очень маленькое: важно, чтобы его размер был мал относительно расстояния, на котором рассматривают взаимодействие. Такое приближение упрощает расчёт, потому что заряд можно считать сосредоточенным в одной точке. Если размеры тела существенны, применять эту модель без обоснования нельзя.

Закон Кулона утверждает, что сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Его используют, чтобы найти модуль силы и понять, как он изменится при изменении зарядов или расстояния. Слово «модулей» означает, что в вычислении силы берут величины зарядов без знаков. Знаки понадобятся отдельно, чтобы определить притяжение или отталкивание.

Электрическая постоянная ε₀ — коэффициент, характеризующий электрическое взаимодействие в вакууме и входящий в коэффициент закона Кулона. Её значение приблизительно равно 8,85 · 10⁻¹² Ф/м, где Ф — фарад, единица электрической ёмкости. В формуле также используют k = 1/(4πε₀) ≈ 9 · 10⁹ Н·м²/Кл². Значение k удобно подставлять непосредственно, а ε₀ показывает, как коэффициент связан с фундаментальной электрической постоянной.

Как это устроено

Сравнивая взаимодействие зарядов разной величины, обнаруживают: если один заряд увеличить, сила возрастёт во столько же раз, а если увеличить оба — влияние каждого изменения складывается. Поэтому сила пропорциональна произведению модулей зарядов |q₁q₂|, а не только одному из них. Например, увеличение каждого заряда в 2 раза увеличит силу в 4 раза. Эта зависимость объясняет, почему при расчётах учитывают оба заряда.

Расстояние влияет на силу иначе: опыт показывает обратную пропорциональность именно квадрату расстояния. Причина этой зависимости связана с тем, что электрическое взаимодействие распространяется в пространстве во все стороны: при удалении источник влияет на всё большую область. В результате при удвоении расстояния сила уменьшается не в 2, а в 2² = 4 раза. Поэтому в знаменателе формулы стоит r², и эту степень нельзя опускать.

Для вакуума закон записывают так: F = k|q₁q₂|/r², где F — модуль силы, q₁ и q₂ — заряды, r — расстояние между ними. Коэффициент k = 1/(4πε₀) ≈ 9 · 10⁹ Н·м²/Кл², а ε₀ ≈ 8,85 · 10⁻¹² Ф/м. В формулу подставляют заряды в кулонах, а расстояние — в метрах, тогда результат получается в ньютонах. Модуль в записи |q₁q₂| позволяет получить положительное числовое значение силы независимо от знаков зарядов.

Силы взаимодействия действуют вдоль прямой, соединяющей заряды, потому что для точечных зарядов нет выделенного направления в стороне от этой линии. Если заряды одноимённые, каждый из них отталкивается от другого; если разноимённые — направляется к нему. При этом на каждый заряд действует своя сила: они равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Это помогает правильно изобразить силы на схеме.

Закон в приведённой форме относится к неподвижным точечным зарядам в вакууме. Для тел конечных размеров точечное приближение допустимо, когда размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними. В других задачах закон можно использовать для тел с подходящей симметрией распределения заряда, но нужно учитывать вклад разных частей тела. Если условие задачи не позволяет считать заряд точечным и симметрия отсутствует, одной простой формулы для двух точек может быть недостаточно.

Закон Кулона: условия и характеристики взаимодействия

Пользуйтесь таблицей как короткой проверкой перед решением: сначала убедитесь, что условия задачи подходят для закона, затем выпишите известные величины и их единицы. После вычисления модуля силы отдельно определите её направление по знакам зарядов. Так вы не смешаете численный расчёт и описание взаимодействия.

Разбор задач

Задача 1. Два точечных заряда 2 нКл и 3 нКл находятся в вакууме на расстоянии 0,30 м. Найдите модуль силы взаимодействия. Сначала переводим нанокулоны в кулоны: приставка «нано» означает 10⁻⁹. Для численного расчёта берём k ≈ 9 · 10⁹ Н·м²/Кл².

1. Запишем данные: q₁ = 2 · 10⁻⁹ Кл, q₂ = 3 · 10⁻⁹ Кл, r = 0,30 м.
2. Используем закон Кулона: F = k|q₁q₂|/r².
3. Подставим значения: F = 9 · 10⁹ · (2 · 10⁻⁹)(3 · 10⁻⁹)/(0,30)² ≈ 6 · 10⁻⁷ Н.

Ответ: модуль силы равен примерно 6 · 10⁻⁷ Н. Знаки зарядов в условии не указаны, поэтому определить, притягиваются они или отталкиваются, нельзя. Для нахождения модуля достаточно использовать абсолютные значения зарядов.

Задача 2. Силу взаимодействия двух зарядов уменьшили в 4 раза, не меняя заряды. Во сколько раз изменилось расстояние между ними? Поскольку заряды постоянны, формула показывает, что сила зависит от расстояния только как 1/r². Значит, нужно сравнить квадраты исходного и нового расстояний.

1. Обозначим исходную силу и расстояние F₁ и r₁, а новые значения — F₂ и r₂.
2. Из закона Кулона получаем F₂/F₁ = r₁²/r₂². По условию F₂/F₁ = 1/4, поэтому r₂²/r₁² = 4.
3. Извлекаем квадратный корень: r₂/r₁ = 2.

Ответ: расстояние увеличилось в 2 раза. Проверка: при удвоении r знаменатель r² возрастает в 4 раза, поэтому сила действительно уменьшается в 4 раза. Если бы расстояние уменьшили, сила, наоборот, выросла бы.

Задача 3. Заряды −4 нКл и +6 нКл расположены на расстоянии 0,20 м. Определите модуль силы и укажите её направление для каждого заряда. Сначала рассчитаем модуль, не подставляя знаки: они не меняют его величину. Затем по противоположным знакам определим, куда направлены силы.

1. Переведём заряды: q₁ = −4 · 10⁻⁹ Кл, q₂ = 6 · 10⁻⁹ Кл, r = 0,20 м.
2. Подставим модули зарядов: F = 9 · 10⁹ · (4 · 10⁻⁹)(6 · 10⁻⁹)/(0,20)² = 5,4 · 10⁻⁶ Н.
3. Заряды разноимённые, поэтому они притягиваются. Сила на отрицательный заряд направлена к положительному, а сила на положительный — к отрицательному.

Ответ: модуль каждой силы равен 5,4 · 10⁻⁶ Н; силы направлены навстречу друг другу вдоль прямой, соединяющей заряды. Они равны по модулю и противоположны по направлению. Такое описание учитывает и результат вычисления, и знак каждого заряда.

Типичные ошибки

Ошибка: подставлять в знаменатель r вместо r². Такое происходит, когда степень теряется при переносе формулы в вычисления. Проверяйте запись перед подстановкой и размерность: без квадрата расстояния формула не соответствует закону Кулона. Полезно также оценить результат: удвоение расстояния должно уменьшать силу в четыре раза.

Ошибка: не переводить нКл или мкКл в кулоны. Приставки нано и микро означают множители 10⁻⁹ и 10⁻⁶, поэтому пропуск перевода меняет ответ на много порядков. Записывайте все величины в СИ до подстановки и проверьте, что заряд выражен в Кл, а расстояние — в м. Тогда коэффициент k даст силу в ньютонах.

Ошибка: считать, что знак заряда меняет модуль силы. Эту путаницу вызывает использование подписанных чисел вместо модулей в формуле для F. Берите |q₁| и |q₂|, а притяжение или отталкивание определяйте отдельно по знакам. Проверка простая: модуль силы не может быть отрицательным.

Ошибка: применять формулу к протяжённым телам без обоснования. Так делают, когда воспринимают любой заряд как точечный, хотя размеры тела могут быть сравнимы с расстоянием. Перед расчётом оцените размеры и выясните, есть ли подходящая симметрия распределения заряда. Если ни точечное приближение, ни симметрия не подходят, нужно учитывать распределение заряда, а не пользоваться формулой для двух точек напрямую.

Связь с другими темами

Для изучения закона Кулона нужно знать, что такое электрический заряд, какие бывают его знаки и в чём он измеряется. Также пригодятся перевод единиц в СИ, работа с пропорциональностями и степенями: без этого легко ошибиться в зависимости от расстояния. Закон станет основой для изучения электрического поля и принципа суперпозиции, который позволяет учитывать действие нескольких зарядов. Он нужен и при рассмотрении движения заряженных частиц под действием электрических сил.

Что запомнить

• Закон Кулона описывает взаимодействие неподвижных точечных зарядов.
• Модуль силы пропорционален произведению модулей зарядов.
• Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами.
• Силы взаимодействия направлены вдоль прямой, соединяющей заряды.
• Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются.
• Для вакуума F = k|q₁q₂|/r², где k = 1/(4πε₀).