§ 17. Уравнение состояния идеального газа

Определения и обозначения

Идеальный газ — модель газа, в которой размерами молекул пренебрегают, а их взаимодействием вне столкновений можно пренебречь. Такая модель упрощает описание множества частиц: вместо расчёта движения каждой молекулы рассматривают общие характеристики газа. Она особенно полезна, когда газ достаточно разрежен и ведёт себя близко к идеальному.

Параметры состояния — макроскопические величины, описывающие газ: давление p, объём V и абсолютная температура T. Давление показывает, с какой силой газ действует на единицу площади стенки, объём — какое пространство занимает, а температура связана со средней энергией хаотического движения молекул. Эти параметры нужны, чтобы задавать состояние газа без описания каждой частицы.

Уравнение состояния идеального газа — зависимость между давлением, объёмом, температурой и количеством вещества: pV = νRT. Здесь ν — количество вещества в молях, а R — универсальная газовая постоянная. Уравнение позволяет рассчитать неизвестный параметр, если известны остальные, и сравнить разные состояния газа.

Универсальная газовая постоянная R — коэффициент в уравнении состояния, приблизительно равный 8,31 Дж/(моль·К). Она одинакова для любого идеального газа, поэтому связывает величины, относящиеся к разным газам, по одной формуле. Её единицы согласованы с давлением в паскалях, объёмом в кубических метрах и температурой в кельвинах.

Как это устроено

Состояние данной массы газа можно описать давлением, объёмом и температурой, потому что эти величины характеризуют его наблюдаемое поведение целиком. Давление возникает из-за ударов молекул о стенки сосуда, объём задаётся границами доступного пространства, а температура отражает тепловое движение частиц. Если масса газа неизменна, число молекул также фиксировано, поэтому параметры связаны между собой и не могут произвольно меняться независимо.

Для постоянной массы газа объединённый газовый закон показывает, что отношение pV/T остаётся постоянным при переходе из одного равновесного состояния в другое. Это можно понять и из уравнения состояния: в выражении pV/T = νR величины ν и R не меняются, если газ не добавляют и не удаляют. Поэтому для двух состояний одного и того же количества газа записывают p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.

Постоянная в соотношении pV/T = const зависит от количества вещества: из уравнения состояния следует, что она равна νR. Чем больше газа в сосуде при той же температуре и объёме, тем больше молекул ударяет о стенки и тем выше давление; именно поэтому значение pV/T растёт вместе с ν. Для одного моля оно равно R, а для ν молей — νR.

Основная запись уравнения — pV = νRT. Если требуется давление, выражение преобразуют к виду p = νRT/V; для объёма получают V = νRT/p, а для температуры — T = pV/(νR). Выбирая нужную форму, сначала определяют, какая величина неизвестна, и выражают её через остальные, не меняя физического смысла соотношения.

В уравнение подставляют температуру в кельвинах, давление в паскалях и объём в кубических метрах, поскольку именно с этими единицами согласована постоянная R. Температура в градусах Цельсия имеет произвольный ноль и не пропорциональна тепловой энергии, поэтому её переводят по формуле T = t + 273,15. Согласование единиц позволяет получить результат в правильных единицах и избежать ошибки в масштабе.

Величины и формулы уравнения состояния идеального газа

Таблица помогает выбрать формулу по искомой величине и проверить, в каких единицах её нужно подставлять. Сначала переведите все данные в СИ, затем выразите неизвестный параметр из уравнения. Если масса газа постоянна, для сравнения состояний удобно использовать строку pV/T = const.

Разбор задач

Задача 1

В сосуде находится 2 моль идеального газа при температуре 300 К и объёме 0,05 м³. Требуется определить давление газа. Данные уже записаны в единицах СИ, поэтому можно подставлять их непосредственно.

1. Используем уравнение состояния pV = νRT и выразим давление: p = νRT/V.
2. Подставим значения: p = 2 · 8,31 · 300 / 0,05 = 99 720 Па.
3. Проверим порядок величины: при таком объёме и количестве газа давление получается близким к 100 кПа.

Ответ: p ≈ 1,0 · 10⁵ Па, или примерно 100 кПа. Давление получилось положительным и имеет единицы паскалей, что согласуется с условием. Для такого перехода достаточно знать количество вещества, температуру и объём.

Задача 2

Газ при давлении 100 кПа занимает объём 4 л. Нужно найти его объём при давлении 250 кПа, если температура и масса газа постоянны. Поскольку количество газа и температура не меняются, произведение pV остаётся постоянным.

1. Запишем закон Бойля — Мариотта: p₁V₁ = p₂V₂.
2. Выразим неизвестный объём: V₂ = p₁V₁/p₂ = 100 · 4/250 = 1,6 л.
3. Проверим направление изменения: давление выросло в 2,5 раза, значит объём должен уменьшиться в 2,5 раза.

Ответ: V₂ = 1,6 л. Переводить литры в кубические метры здесь необязательно, потому что в отношении объёмов единицы сокращаются, если они одинаковы. Давления тоже можно оставить в кПа, поскольку их единицы взаимно сокращаются.

Задача 3

В баллоне объёмом 20 л находится газ массой 0,5 кг. Температура газа равна 27 °C, молярная масса — 0,029 кг/моль; требуется найти давление. Перед использованием уравнения нужно получить количество вещества и перевести данные в СИ.

1. Найдём количество вещества: ν = m/M = 0,5/0,029 ≈ 17,24 моль.
2. Переведём температуру и объём: T = 27 + 273,15 = 300,15 К, V = 20 л = 0,020 м³.
3. Используем p = νRT/V: p ≈ 17,24 · 8,31 · 300,15/0,020 ≈ 2,15 · 10⁶ Па.

Ответ: p ≈ 2,15 МПа. Значительное давление объясняется тем, что в небольшом объёме находится много вещества. В вычислениях использованы килограммы для массы и молярной массы, поэтому ν получено в молях.

Типичные ошибки

Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо кельвинов даёт неверный результат, потому что шкала Цельсия имеет смещённый ноль. Такую ошибку допускают, если механически переписывают число из условия; перед расчётом прибавьте 273,15. Самопроверка проста: абсолютная температура не может быть отрицательной и должна быть записана в К.

Несогласованные единицы объёма и давления, например литры вместе с паскалями без перевода объёма в м³, нарушают соответствие единиц постоянной R. Ошибку легко пропустить, потому что числовые значения выглядят привычно; переведите литры в кубические метры, разделив на 1000. В конце проверьте, что результат имеет нужную единицу, например Па.

Использовать массу газа непосредственно вместо количества вещества нельзя: в уравнении стоит ν, а не m. Путаница возникает из-за того, что масса часто дана в условии, тогда как количество вещества приходится вычислять; найдите его по формуле ν = m/M. Для проверки убедитесь, что масса и молярная масса выражены в согласованных единицах.

Соотношение pV/T = const нельзя применять к разным количествам газа, поскольку постоянная в нём равна νR и меняется вместе с ν. Ошибку допускают, когда сравнивают два состояния, не выяснив, закрыт ли сосуд и не меняется ли число молекул. Проверьте условие: газ не должен поступать в систему или покидать её; иначе используйте полное уравнение состояния для каждого состояния.

Связь с другими темами

Для изучения уравнения нужны понятия давления, объёма, температуры, количества вещества и молярной массы. Полезно уметь применять законы Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля: каждый описывает частный случай, когда один из параметров постоянен. Уравнение состояния объединяет эти зависимости и служит основой для задач об изопроцессах, термодинамике, тепловых машинах и газовых системах.

Что запомнить

• Уравнение состояния идеального газа: pV = νRT.
• p — давление, V — объём, ν — количество вещества, T — абсолютная температура.
• Температуру в расчётах выражают в кельвинах.
• Для постоянной массы газа pV/T = const.
• Количество вещества находят по формуле ν = m/M.
• Изменение одного параметра состояния вызывает изменение других, если остальные условия не закреплены.