3. Потенциальная энергия

Определения и обозначения

Потенциальная энергия — энергия, зависящая от взаимного положения взаимодействующих тел или частей одного тела. Она может быть у поднятого предмета, притягивающегося к Земле, или у сжатой пружины. Такое понятие помогает описать запас энергии, который способен перейти в движение.

Гравитационная потенциальная энергия — энергия тела, поднятого над выбранным уровнем отсчёта. Чем выше находится тело и чем больше его масса, тем больше эта энергия. Её рассчитывают, чтобы сравнивать запас энергии в разных положениях и описывать падение или подъём предмета.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела — энергия, запасённая при растяжении или сжатии тела. Упругим называют тело, которое стремится восстановить прежнюю форму после прекращения воздействия. Это понятие нужно для описания работы пружин, луков и других упругих предметов.

Нулевой уровень потенциальной энергии — выбранное положение, относительно которого рассчитывают потенциальную энергию. Для высоты тела таким уровнем может быть пол, земля или стол, если это удобно в задаче. Выбор нужен, чтобы однозначно измерить высоту и подставить её в формулу.

Как это устроено

Кинетическая энергия появляется из-за движения, а потенциальная связана с положением и взаимодействием. Например, неподвижный камень на высоте не движется, но Земля притягивает его, и он может упасть. При падении запас энергии положения превращается в энергию движения. Поэтому потенциальную энергию нельзя приписать положению тела отдельно от взаимодействующих с ним тел или частей.

Чтобы поднять предмет, приходится действовать против силы тяжести. Если предмет поднимают равномерно, сила тяжести направлена вниз, а перемещение — вверх, поэтому работа силы тяжести отрицательна. Работа того, кто поднимает предмет, увеличивает запас энергии системы «тело — Земля». Чем выше подняли тело, тем больший путь оно прошло против силы тяжести и тем больше прирост его потенциальной энергии.

Около поверхности Земли сила тяжести почти не меняется при небольших изменениях высоты и равна mg. При подъёме на высоту h работа против силы тяжести равна произведению силы на высоту: mgh. Эту работу связывают с приобретённой потенциальной энергией, поэтому Eп = mgh. Масса измеряется в килограммах, высота — в метрах, а g — в ньютонах на килограмм; произведение даёт джоули.

Число Eп зависит от того, где условились считать высоту нулевой: при переносе нулевого уровня изменяется h, а вместе с ней и рассчитанная энергия. Например, для одного и того же предмета у пола и у стола будут разные значения, если считать энергию относительно пола или относительно столешницы. Однако изменение между двумя положениями определяется разностью их высот: ΔEп = mg(h₂ − h₁). Если поменять нулевой уровень, обе высоты сдвинутся одинаково, поэтому их разность и изменение энергии останутся прежними.

При растяжении или сжатии упругое тело стремится вернуться к прежней форме. Чтобы деформировать его, нужно совершить работу, которая запасается в теле как потенциальная энергия. Для пружины эта энергия равна Eп = kx²/2, где k — жёсткость, а x — величина деформации от естественного положения. Квадрат показывает, что при удвоении растяжения энергия увеличивается в четыре раза; при одинаковой деформации более жёсткую пружину деформировать труднее, и запас у неё больше.

Как это устроено

При постоянной массе и ускорении свободного падения энергия растёт вместе с высотой. На графике приведена зависимость Eп = 10h: например, высоте 5 м соответствует 50 Дж, а высоте 10 м — 100 Дж.

Виды потенциальной энергии и способы их определения

В таблице собраны случаи, которые важно различать: энергия тела на высоте, энергия деформированного тела, изменение энергии при перемещении и выбор точки отсчёта. Для расчёта сначала определите, что именно требуется найти, а затем выберите подходящую формулу. В последней строке формулы нет: нулевой уровень задают условием задачи, чтобы верно отсчитать высоту.

Разбор задач

Задача 1. Тело массой 2 кг подняли на высоту 5 м над землёй. Определим его потенциальную энергию, если g = 10 Н/кг. Земля здесь принята за нулевой уровень, поэтому заданная высота подходит для формулы Eп = mgh. Подставим известные величины и проверим, что ответ выражен в джоулях.

1. Запишем данные: m = 2 кг, h = 5 м, g = 10 Н/кг.
2. Используем формулу Eп = mgh, так как требуется энергия тела на заданной высоте.
3. Вычислим: Eп = 2 · 10 · 5 = 100 Дж.

Ответ: потенциальная энергия тела равна 100 Дж. Масса и высота входят в формулу как множители, поэтому при увеличении любой из них энергия тоже увеличивается. Единица получается такой: кг · Н/кг · м = Н · м = Дж.

Задача 2. Камень массой 3 кг переместили с высоты 2 м на высоту 7 м. Нужно найти именно изменение энергии, а не её значение в конце пути. Сначала определим, насколько изменилась высота, и учтём направление перемещения: камень подняли, значит, прирост должен быть положительным. Возьмём g = 10 Н/кг.

1. Запишем высоты: h₁ = 2 м, h₂ = 7 м; масса m = 3 кг.
2. Найдём разность: h₂ − h₁ = 7 − 2 = 5 м.
3. Вычислим изменение энергии: ΔEп = mg(h₂ − h₁) = 3 · 10 · 5 = 150 Дж.

Ответ: потенциальная энергия увеличилась на 150 Дж. Здесь не нужно подставлять только конечную высоту: тогда получилось бы значение энергии относительно нулевого уровня, а не её прирост. Разность высот показывает, на сколько метров камень подняли.

Задача 3. Пружину жёсткостью 200 Н/м сжали на 0,1 м. Найдём энергию, запасённую в деформированной пружине. Для этого нужна формула Eп = kx²/2, а не формула для поднятого над землёй тела. Деформацию 0,1 м обязательно возведём в квадрат.

1. Запишем данные: k = 200 Н/м, x = 0,1 м.
2. Подставим их в формулу энергии упругой деформации: Eп = kx²/2.
3. Вычислим: Eп = 200 · (0,1)²/2 = 200 · 0,01/2 = 1 Дж.

Ответ: пружина приобрела потенциальную энергию 1 Дж. Перед вычислением полезно отдельно найти квадрат деформации: (0,1)² = 0,01, а не 0,1. Если не возвести x в квадрат, значение энергии получится неверным.

Типичные ошибки

Считают потенциальную энергию постоянной для тела. Тело не имеет неизменного значения этой энергии: при изменении высоты или деформации меняется и энергия. Ошибку допускают, когда запоминают её как постоянное свойство самого предмета. Проверьте себя: если тело подняли, опустили, растянули или сжали, выясните, изменились ли величины в соответствующей формуле.

Забывают указать нулевой уровень. Тогда высоту могут отсчитать не от той поверхности, и расчёт значения энергии окажется неверным. Обычно это происходит потому, что слово «высота» принимают за понятную без пояснений величину. Перед подстановкой отметьте, от какого положения измеряется h; если в задаче спрашивают только изменение энергии, используйте разность высот.

Подставляют высоту вместо её изменения. При вычислении ΔEп важно сравнить конечное и начальное положения, а не считать только высоту в конце пути. Ошибка возникает, когда путают вопросы «какова энергия?» и «на сколько она изменилась?». Проверьте формулировку и при необходимости запишите h₂ − h₁; при подъёме разность должна быть положительной.

Путают формулы энергии или забывают квадрат деформации. Формула mgh описывает гравитационную энергию, а kx²/2 — энергию упругой деформации. Их смешивают, если не устанавливают, что именно изменилось: высота или форма тела. Перед вычислением выпишите подходящую формулу и проверьте, что x возведено в квадрат, а все величины переведены в нужные единицы.

Связь с другими темами

Для работы с потенциальной энергией нужны понятия работы силы, массы, силы тяжести и высоты, а также умение пользоваться единицей энергии — джоулем. Работа помогает понять, почему подъём тела увеличивает его запас энергии. Позже потенциальная энергия понадобится при изучении закона сохранения механической энергии: в идеальных условиях она может переходить в кинетическую. Эти идеи объясняют падение тел, движение маятников и пружин, а также работу подъёмных механизмов.

Что запомнить

• Потенциальная энергия связана с положением тела или взаимным расположением частей тела.
• Единица потенциальной энергии — джоуль.
• У тела массой m на высоте h у поверхности Земли Eп = mgh.
• Чем больше масса и высота тела, тем больше его гравитационная потенциальная энергия.
• Нулевой уровень потенциальной энергии выбирают условно.
• Энергия растянутой или сжатой пружины зависит от квадрата её деформации.
• При превращении потенциальной энергии в кинетическую механическая энергия может сохраняться.