Геометрический материал

Определения и обозначения

Точка — это отметка, показывающая место на чертеже. Её обозначают заглавной латинской буквой, например А. У точки нет длины: видимая отметка нужна только для того, чтобы её можно было заметить. Точки помогают отмечать границы и части геометрических фигур.

Прямая линия — это линия, которая не имеет начала и конца и продолжается в обе стороны. На чертеже её изображают частью, потому что начертить бесконечную линию целиком невозможно. Прямую можно обозначить двумя заглавными буквами точек, через которые она проходит, например А и В. Такое обозначение помогает понять, о какой прямой идёт речь.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка; его обозначают буквами концов, например АВ. В отличие от прямой, отрезок имеет определённые границы и длину. Это позволяет измерить его линейкой и использовать при построениях.

Луч — часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. Он продолжается в одном направлении, поэтому на чертеже его конец обозначают стрелкой. Начало луча отмечают точкой, а направление показывают от неё. Такое обозначение помогает не принять луч за отрезок или прямую.

Как это устроено

Геометрические фигуры изображают на чертеже, чтобы их было удобно рассматривать и строить. Точки отмечают места, где фигура начинается, заканчивается или соприкасается с другой частью. Для видимости точку рисуют маленькой отметкой, хотя сама точка не занимает заметного места и не имеет длины. Буква рядом позволяет отличить её от других точек на том же чертеже.

Через любые две точки можно провести прямую. Это свойство помогает соединять отмеченные места и строить фигуры. Но прямая продолжается бесконечно, а лист бумаги имеет края, поэтому показать её полностью нельзя. На рисунке проводят лишь видимую часть, а продолжение в обе стороны подразумевают; иногда это дополнительно показывают стрелками.

Если на прямой отметить две точки, они разделят её на несколько частей. Часть между точками ограничена ими и называется отрезком. За каждой отмеченной точкой прямая продолжается дальше; эти части можно представить как лучи с началом в точках. Так одна прямая помогает увидеть, чем отличаются ограниченная часть и продолжение в одном направлении.

Отрезок можно измерить линейкой, потому что у него есть два конца и расстояние между ними можно определить. Совмести один конец с отметкой 0 на линейке, а затем посмотри, до какого деления доходит второй конец. Длину записывают числом и единицей измерения, например 5 см. Единица нужна, чтобы было ясно, в чём выражено расстояние.

Чтобы провести луч, сначала отметь точку начала. Затем выбери направление и проведи линию от этой точки; на другом конце чертежа поставь стрелку. Стрелка показывает, что линия продолжается дальше, а не заканчивается там, где закончился рисунок. Если поставить стрелку у начала, направление будет показано неверно.

Сравнение основных геометрических фигур

Сначала найди в таблице, есть ли у фигуры начало и конец. Затем проверь, как её обозначают и можно ли измерить её длину. Если у линии два конца, это отрезок; если линия продолжается дальше, измерить её как отрезок нельзя.

Разбор задач

Поставь точку и обозначь её буквой А.

Нужно показать одну точку и подписать её. Помни, что буква обозначает точку, а не её размер. Выполни действия по порядку.

1. Поставь на листе маленькую отметку карандашом.
2. Рядом напиши заглавную латинскую букву А, чтобы она не закрывала отметку.
3. Проверь, что буква именно латинская и заглавная.

Ответ: точка А отмечена на чертеже. Она показывает место, но не имеет длины.

Проведи прямую через точки А и В, отметь на ней отрезок АВ.

Здесь нужно изобразить и целую по смыслу прямую, и ограниченную её часть. Прямая должна проходить через обе точки и продолжаться за них. Отрезком будет только часть между А и В.

1. Отметь точки А и В на листе и приложи к ним линейку.
2. Проведи линию через обе точки и продолжи её в обе стороны за их пределы.
3. Отметь точки А и В как границы части между ними: эта часть и есть отрезок АВ.
4. Проверь: у прямой нет концов, а у отрезка АВ концами служат точки А и В.

Ответ: прямая проходит через А и В и продолжается в обе стороны; между точками расположен отрезок АВ. Края проведённой на бумаге линии не становятся концами прямой.

Начерти отрезок длиной 5 см, отметь его концы буквами С и D и проведи луч с началом в точке С через точку D.

Сначала нужно получить отрезок заданной длины, а потом использовать его точки для построения луча. Длина 5 см относится к отрезку СD, но не к лучу. Луч начинается в С, проходит через D и продолжается дальше.

1. Приложи линейку и поставь отметку у деления 0.
2. На расстоянии 5 см от неё поставь вторую отметку; назови первую точку С, а вторую D.
3. Проведи между С и D линию: это отрезок длиной 5 см.
4. Продолжи линию от С через D и поставь стрелку за точкой D. Началом луча будет С.
5. Проверь, что стрелка указывает от С через D, а не направлена к С.

Ответ: начерчен отрезок СD длиной 5 см и луч с началом С, проходящий через D. У луча есть начало, но нет конца.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что прямая заканчивается там, где заканчивается чертёж. Так бывает, потому что на листе видна только часть линии. Проверь себя: представь, что линию можно продолжить за оба края рисунка; у прямой нет концов.

Ошибка: путать отрезок с прямой. На чертеже их части могут выглядеть похоже, но отрезок ограничен двумя точками, а прямая продолжается в обе стороны. Чтобы проверить себя, найди отмеченные границы: если это концы, перед тобой отрезок.

Ошибка: пытаться измерить прямую или луч. Линейка показывает расстояние между двумя концами, а у прямой и луча конца нет. Проверь, можно ли назвать обе точки-границы: если их нет, длину измерять нельзя.

Ошибка: ставить стрелку у начала луча. Её могут поставить там, потому что стрелка кажется обозначением начальной точки. Но стрелка показывает направление продолжения, поэтому начало отмечают точкой, а стрелку ставят на другом конце чертежа.

Связь с другими темами

Для работы с отрезками нужна линейка: умей прикладывать её к линии и находить деления. Также полезно различать заглавные латинские буквы, которыми подписывают точки и фигуры. Это помогает точно читать и строить чертежи.

Точки, прямые и отрезки встречаются при изучении углов и многоугольников. По ним отмечают вершины, проводят стороны и задают границы фигур. Эти понятия понадобятся и при построении чертежей, где важно правильно обозначить каждую часть.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Прямая продолжается в обе стороны.
• У отрезка есть два конца.
• Длину измеряют у отрезка.
• У луча есть начало и одно направление продолжения.
• Чертёж показывает фигуру условно, а не обязательно целиком.