§ 59. Закон Ома для полной цепи

Определения и обозначения

ЭДС источника — работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда внутри источника; обозначается ε и измеряется в вольтах. Сторонними называют силы, которые поддерживают разделение зарядов и движение тока внутри батареи или другого источника. ЭДС показывает, сколько энергии источник передаёт каждому кулону заряда.

Внутреннее сопротивление источника — сопротивление движению зарядов внутри него; обозначается r и измеряется в омах. Оно возникает из-за свойств вещества внутри источника и его внутренних элементов. Эта величина нужна, чтобы учитывать часть энергии, которая расходуется не на внешнюю нагрузку.

Полная цепь — замкнутая электрическая цепь, включающая внешнюю часть сопротивлением R и источник с внутренним сопротивлением r. Внешняя часть — это подключённые провода и приборы, например резистор или лампа. Рассматривать цепь целиком нужно потому, что ток проходит также и через источник.

Закон Ома для полной цепи утверждает: сила тока в замкнутой цепи равна отношению ЭДС источника к полному сопротивлению, то есть I = ε/(R + r). Здесь I измеряется в амперах, а R и r — в омах. Формула позволяет найти ток, даже если сопротивление самого источника нельзя считать нулевым.

Как это устроено

Сопротивление есть не только у резистора снаружи источника. Чтобы заряд прошёл полный путь, он движется и внутри источника, например через электролит и электроды аккумулятора, а движение заряженных частиц в веществе встречает препятствия. Поэтому часть энергии тока рассеивается внутри источника, и это учитывают с помощью внутреннего сопротивления r.

В замкнутой цепи внешний участок и источник соединены последовательно: один и тот же заряд проходит сначала через одну часть, затем через другую. При последовательном соединении сопротивления складываются, поэтому сопротивление всей цепи равно R + r. Если пренебречь r, расчёт будет считать источник идеальным и обычно даст ток больше реального.

Работа сторонних сил за секунду равна εI, то есть мощности, которую источник сообщает зарядам. За ту же секунду энергия выделяется на внешнем сопротивлении с мощностью I²R и внутри источника с мощностью I²r. По закону сохранения энергии εI = I²R + I²r; разделив обе части на ненулевой ток I, получаем ε = I(R + r), а значит, I = ε/(R + r).

Напряжение на внешнем участке равно U = IR. Подставив сюда ток из закона Ома для полной цепи, получаем U = εR/(R + r), то есть напряжение меньше ЭДС, когда через источник течёт ток. Разность ε − U = Ir приходится на внутреннее сопротивление: чем больше ток или r, тем больше падение напряжения внутри источника.

При коротком замыкании внешние зажимы соединяют проводником с очень малым сопротивлением, поэтому R становится близким к нулю. Тогда почти всё сопротивление цепи приходится на источник, и формула даёт предельный ток Iкз = ε/r. Он не бесконечен, но может быть очень большим, если r мало; такой ток опасен перегревом проводов и источника.

Величины и формулы для полной электрической цепи

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите строку с подходящей формулой. Затем проверьте, что в неё подставлены именно известные величины в согласованных единицах: например, сопротивление — в омах, ЭДС — в вольтах. Формулы связаны между собой, поэтому найденный ток можно использовать для расчёта напряжения на нагрузке.

Разбор задач

Задача 1. Источник с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён к резистору сопротивлением 5 Ом. Найдём силу тока в цепи. Ток один и тот же во внешнем резисторе и внутри источника, поэтому в расчёте нужно учесть оба сопротивления.

1. Записываем данные: ε = 12 В, r = 1 Ом, R = 5 Ом.
2. Находим полное сопротивление: R + r = 5 Ом + 1 Ом = 6 Ом.
3. Применяем закон Ома для полной цепи: I = ε/(R + r) = 12 В/6 Ом = 2 А.

Ответ: сила тока равна 2 А. Такой результат разумен: если бы внутреннее сопротивление не учитывали, получили бы завышенный ток 12 В/5 Ом = 2,4 А. Разница показывает, почему источник рассматривают как часть цепи.

Задача 2. Источник с ЭДС 9 В и внутренним сопротивлением 2 Ом подключён к резистору сопротивлением 7 Ом. Нужно определить ток и напряжение на зажимах источника. Напряжение на зажимах при подключённой нагрузке равно напряжению на внешнем резисторе.

1. Записываем данные: ε = 9 В, r = 2 Ом, R = 7 Ом.
2. Складываем сопротивления и находим ток: I = 9 В/(7 Ом + 2 Ом) = 1 А.
3. Вычисляем напряжение на внешнем участке: U = IR = 1 А · 7 Ом = 7 В. Проверяем другим способом: U = ε − Ir = 9 В − 1 А · 2 Ом = 7 В.

Ответ: ток равен 1 А, напряжение на зажимах — 7 В. Проверка двумя равносильными формулами помогает заметить арифметическую ошибку. Оставшиеся 2 В приходятся на внутреннее сопротивление источника.

Задача 3. При подключении резистора сопротивлением 4 Ом ток равен 2 А, а при подключении резистора 10 Ом ток равен 1 А. Требуется найти ЭДС и внутреннее сопротивление. Здесь неизвестны сразу две величины, поэтому используем оба измерения и составляем систему уравнений.

1. Для первой нагрузки записываем ε = I(R + r): ε = 2(4 + r) = 8 + 2r.
2. Для второй нагрузки получаем ε = 1(10 + r) = 10 + r.
3. Приравниваем правые части: 8 + 2r = 10 + r, откуда r = 2 Ом. Подставляем во второе уравнение: ε = 10 + 2 = 12 В.

Ответ: ЭДС источника равна 12 В, внутреннее сопротивление — 2 Ом. Проверим: при R = 4 Ом ток равен 12/(4 + 2) = 2 А, а при R = 10 Ом — 12/(10 + 2) = 1 А. Оба результата совпадают с условиями.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставить в закон Ома только внешнее сопротивление R и забыть о r. Так поступают, когда автоматически применяют формулу для участка цепи, но внутри источника тоже движутся заряды и теряется энергия. Проверьте, замкнута ли цепь через источник: если да, в знаменателе полной цепи должно быть R + r.

Вторая ошибка — считать ЭДС и напряжение на зажимах одним и тем же при протекании тока. ЭДС относится к работе сил внутри источника, а на внутреннем сопротивлении есть падение напряжения Ir. Для проверки сравните величины по формуле U = ε − Ir: при I > 0 и r > 0 напряжение U должно быть меньше ε.

Третья ошибка — подставить ЭДС вместо напряжения в формулу I = U/R и считать по ней ток всей цепи. Формула I = U/R относится к участку цепи, а напряжение на внешнем резисторе не равно ЭДС, когда источник нагружен. Сначала найдите ток по формуле I = ε/(R + r), а потом вычислите напряжение нагрузки как U = IR.

Четвёртая ошибка — ожидать бесконечного тока при коротком замыкании, принимая R = 0 и забывая про r. В реальном источнике внутреннее сопротивление остаётся, поэтому ток равен ε/r и имеет конечное значение. Проверьте расчёт по полной формуле I = ε/(R + r): даже при R = 0 знаменатель равен r, а не нулю.

Связь с другими темами

Чтобы применять закон Ома для полной цепи, нужно знать закон Ома для участка цепи и понимать, как складываются сопротивления при последовательном соединении. При выводе формулы также используется закон сохранения энергии и связь мощности с током и сопротивлением. Эти знания помогают увидеть не только готовую формулу, но и происхождение каждого слагаемого.

Закон описывает реальные источники тока — батареи, аккумуляторы и генераторы, у которых есть внутреннее сопротивление и потери энергии. Он позволяет оценить, какая часть ЭДС приходится на внешнюю нагрузку и как изменится ток при её подключении. Поэтому формула важна при расчёте практических электрических цепей.

Дальше этот закон используют при измерении ЭДС и внутреннего сопротивления источника, а также при анализе цепей с разными нагрузками. Если измерить ток при нескольких известных сопротивлениях, можно составить систему уравнений и найти параметры источника. Так теоретическая модель связывается с экспериментом.

Что запомнить

• Полное сопротивление замкнутой цепи равно R + r.
• Сила тока в полной цепи определяется формулой I = ε/(R + r).
• Внутреннее сопротивление является частью полного сопротивления цепи.
• Напряжение на внешнем участке равно U = IR = ε − Ir.
• При увеличении внешнего сопротивления сила тока уменьшается.
• Ток короткого замыкания равен Iкз = ε/r.
• ЭДС источника равна напряжению на его зажимах только при отсутствии тока.