53. Закон Кулона

Определения и обозначения

Электрический заряд — физическая величина, характеризующая способность тел участвовать в электрическом взаимодействии. Заряды обозначают q₁ и q₂, а измеряют в кулонах (Кл). Они бывают положительными и отрицательными. Знаки нужны не только для записи величины: по ним определяют, будут заряды притягиваться или отталкиваться.

Точечный заряд — заряд тела, размерами которого в условиях задачи можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других тел. Это не обязательно крошечное тело: решающим является соотношение его размера и расстояния до соседних зарядов. Такая модель позволяет описывать тело одним числом и одной точкой вместо сложного распределения заряда. Она упрощает расчёт силы.

Закон Кулона утверждает, что сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Следовательно, сила становится больше при увеличении зарядов и меньше при удалении тел. Закон позволяет количественно сравнивать взаимодействия, а не только определять, притягиваются тела или отталкиваются. Для расчёта также нужно знать, находятся заряды в вакууме или в среде.

Электрическая постоянная ε₀ — коэффициент, характеризующий электрическое взаимодействие в вакууме. Её значение примерно равно 8,85·10⁻¹² Кл²/(Н·м²). В формуле закона она связана с коэффициентом k соотношением k = 1/(4πε₀), где k ≈ 8,99·10⁹ Н·м²/Кл². Эти величины обеспечивают согласование формулы с единицами СИ.

Как это устроено

Точечная модель пригодна, когда размеры заряженных тел намного меньше расстояния между ними: тогда детали их формы почти не влияют на результат расчёта. Заряд можно считать сосредоточенным в одной точке, а положение этой точки — задавать координатами тела. Если тела близки, велики или их размеры сравнимы с расстоянием между ними, распределение заряда по поверхности может быть существенным. В таком случае нужно учитывать форму и распределение заряда, а простое применение формулы для точечных зарядов не обосновано.

Взаимодействие всегда взаимно: первый заряд действует на второй, и второй одновременно действует на первый. По третьему закону Ньютона силы имеют равные модули и противоположные направления. Это не означает, что они уравновешивают друг друга, поскольку приложены к разным телам. Поэтому в задаче о движении каждого заряда рассматривают силу, действующую именно на него.

В формуле участвуют модули зарядов, поэтому при неизменных расстоянии и среде изменение одного заряда прямо пропорционально меняет силу. Например, если модуль q₁ увеличить в три раза, произведение |q₁q₂| тоже увеличится втрое, а значит, втрое возрастёт модуль силы. То же рассуждение справедливо для q₂. При одновременном изменении обоих зарядов учитывают, во сколько раз изменилось их произведение.

Расстояние r входит в знаменатель в квадрате, потому что измеренная зависимость силы от расстояния имеет вид 1/r². Если расстояние увеличить в n раз, знаменатель увеличится в n² раз, а сила уменьшится во столько же раз. Например, при увеличении расстояния втрое сила станет в девять раз меньше. Такое сравнение удобно делать без вычисления исходного значения силы.

Для вакуума модуль силы вычисляют по формуле F = k|q₁q₂|/r², где r — расстояние между зарядами. Для среды формула имеет вид F = k|q₁q₂|/(εr²), где ε — относительная диэлектрическая проницаемость, показывающая, во сколько раз взаимодействие ослаблено по сравнению с вакуумом. Модуль F — это численное значение силы; её направление лежит на прямой, соединяющей заряды. Одноимённые заряды отталкиваются, а разноимённые притягиваются.

Закон Кулона: условия и характеристики взаимодействия

Сначала определите, вакуум это или среда: от этого зависит, нужно ли делить результат на ε. Затем проверьте, что подставляете модули зарядов и расстояние между ними, а не его квадрат вместо r. Направление и характер взаимодействия определяйте отдельно по знакам зарядов.

Разбор задач

Два точечных заряда 2 нКл и 3 нКл находятся в вакууме на расстоянии 0,10 м. Найдите модуль силы их взаимодействия. Нанокулон — это 10⁻⁹ Кл, поэтому перед подстановкой переведём оба заряда в кулоны. Используем коэффициент k = 8,99·10⁹ Н·м²/Кл².

1. Запишем данные в СИ: q₁ = 2·10⁻⁹ Кл, q₂ = 3·10⁻⁹ Кл, r = 0,10 м. Так единицы в формуле будут согласованы. Требуется найти модуль силы F.

2. Подставим модули зарядов в закон для вакуума: F = k|q₁q₂|/r². Получаем F = 8,99·10⁹·(2·10⁻⁹·3·10⁻⁹)/(0,10)². В числителе произведение зарядов равно 6·10⁻¹⁸ Кл², а квадрат расстояния — 0,01 м².

3. Вычислим: F ≈ 5,4·10⁻⁶ Н. Единицы сокращаются до ньютонов, как и должно быть для силы. Ответ: модуль силы равен примерно 5,4 мкН.

Расстояние между двумя зарядами увеличили в 3 раза, не меняя сами заряды. Во сколько раз изменилась сила? Здесь не нужны абсолютные значения зарядов: достаточно сравнить формулы до и после изменения расстояния. Поскольку расстояние стоит в знаменателе в квадрате, следует возвести коэффициент увеличения в квадрат.

1. Обозначим начальное расстояние r, тогда новое расстояние равно 3r. Заряды и среда не меняются, поэтому числитель формулы остаётся тем же. Меняется только знаменатель.

2. Новое значение силы F₂ = k|q₁q₂|/(3r)² = k|q₁q₂|/(9r²). Значит, F₂ = F₁/9. Ответ: сила уменьшилась в 9 раз.

Заряды +6 нКл и −2 нКл находятся в среде с относительной диэлектрической проницаемостью 4; расстояние между ними — 0,20 м. Найдём модуль силы и определим характер взаимодействия. Для расчёта сначала переведём заряды в кулоны, а затем учтём, что среда ослабляет силу в четыре раза по сравнению с вакуумом. Знаки зарядов понадобятся для вывода о притяжении или отталкивании.

1. Запишем данные: q₁ = 6·10⁻⁹ Кл, q₂ = −2·10⁻⁹ Кл, r = 0,20 м, ε = 4. Для модуля силы берём |q₁q₂| = 12·10⁻¹⁸ Кл². Используем формулу F = k|q₁q₂|/(εr²).

2. Подставим значения: F = 8,99·10⁹·12·10⁻¹⁸/(4·0,20²). Знаменатель равен 4·0,04 = 0,16, поэтому F ≈ 6,7·10⁻⁷ Н. Результат выражен в ньютонах.

3. Заряды имеют разные знаки, значит, они притягиваются. Ответ: модуль силы примерно 6,7·10⁻⁷ Н; взаимодействие — притяжение.

Типичные ошибки

Подстановка нанокулонов без перевода в кулоны даёт ошибку в численном результате, потому что приставка «нано» означает множитель 10⁻⁹. Её легко пропустить, если сразу подставлять числа 2 и 3 в формулу. Перед расчётом запишите каждый заряд в СИ и проверьте порядок величины: произведение нанокулонных зарядов очень мало в кулонах.

Иногда расстояние возводят в квадрат не полностью или считают, что сила прямо пропорциональна расстоянию. Это происходит, когда запоминают формулу без её структуры или торопятся при подстановке. Запишите в знаменателе именно r² и проверьте зависимость на примере: увеличение расстояния должно уменьшать силу, причём в квадрате.

Закон Кулона не означает, что заряды всегда притягиваются: знак не входит в формулу модуля силы, но определяет её направление. Ошибку допускают, смешивая положительный модуль F со знаком зарядов. Чтобы проверить вывод, отдельно сравните знаки: одинаковые означают отталкивание, разные — притяжение.

Нельзя без обоснования считать любые протяжённые тела точечными и нельзя игнорировать среду. Такое упрощение может исказить ответ, если размеры тел сравнимы с расстоянием или диэлектрическая проницаемость не равна единице. Проверьте условия задачи: допустима ли точечная модель и нужно ли делить силу на ε.

Связь с другими темами

Для понимания закона Кулона нужны представления об электрическом заряде, его единице измерения и знаках зарядов. Также следует знать правило взаимодействия: одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. Эти знания помогают отличить модуль силы от её направления и правильно прочитать условие задачи.

Закон Кулона используют при изучении электрического поля и расчёте сил, действующих на заряды. Он позволяет описывать, как один заряд влияет на другой, и служит основой для количественных рассуждений об электрическом взаимодействии. Позже эти представления помогают анализировать поля, создаваемые отдельными зарядами и их системами.

Что запомнить

• Сила взаимодействия точечных зарядов направлена вдоль прямой, соединяющей их.
• Модуль силы пропорционален произведению модулей зарядов.
• Модуль силы обратно пропорционален квадрату расстояния между зарядами.
• В вакууме закон записывают как F = k|q₁q₂|/r².
• В среде сила взаимодействия уменьшается с учётом относительной диэлектрической проницаемости.
• Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются.