5. Закон радиоактивного распада

Определения и обозначения

Радиоактивный распад — самопроизвольное превращение нестабильного атомного ядра в другое ядро с испусканием частиц или излучения. Слово «самопроизвольное» означает, что для превращения не нужно специально воздействовать на ядро. Это понятие описывает процесс, из-за которого со временем меняется состав радиоактивного образца.

Постоянная радиоактивного распада λ — вероятность распада данного ядра за единицу времени; она показывает, насколько быстро распадается вещество. Чем больше λ, тем чаще распадаются ядра за один и тот же промежуток времени. Эта величина нужна для расчётов, а её единица измерения обратна единице времени, например с⁻¹.

Период полураспада T — время, за которое распадается половина первоначального числа радиоактивных ядер. Это не срок полного распада образца, а удобный временной масштаб для сравнения веществ и расчётов. Если известен период, можно определить, какая доля ядер останется через заданное время.

Активность A — число распадов в образце за единицу времени. Её измеряют в беккерелях: 1 Бк соответствует одному распаду в секунду. Активность показывает интенсивность радиоактивного источника и помогает оценивать, как она изменяется со временем.

Как это устроено

Распад отдельного ядра случаен: у него нет расписания, по которому можно назвать точный момент превращения. Для каждого ядра можно говорить лишь о вероятности распада за выбранное время. Поэтому невозможно предсказать судьбу одного конкретного ядра, но можно изучать поведение большого набора одинаковых ядер.

В большом образце случайность отдельных событий сглаживается. За равные промежутки времени распадается примерно одна и та же доля имеющихся ядер, потому что у каждого из оставшихся ядер сохраняется одинаковая вероятность распада. Когда ядер становится меньше, распадов за такой же промежуток тоже становится меньше. Именно поэтому число ядер не убывает на постоянное количество за равные интервалы, а следует экспоненциальному закону.

Закон радиоактивного распада записывают так: N(t) = N₀e^(−λt). Здесь N₀ — число ядер в начальный момент, N(t) — число нераспавшихся ядер через время t, а e — основание натурального логарифма. Отрицательный показатель означает, что с течением времени N уменьшается; при t = 0 формула даёт N(0) = N₀. В формулу можно подставлять t и λ только в согласованных единицах: например, время в секундах и λ в с⁻¹.

Период полураспада связан с постоянной распада равенством T = ln 2 / λ. Это получается из закона распада: в момент t = T остаётся N₀/2, и из этого условия находят T. За каждый такой период число оставшихся ядер снова уменьшается вдвое, поэтому после n периодов остаётся N₀/2ⁿ. Период полураспада не означает, что через это время распадётся весь образец.

Активность пропорциональна числу нераспавшихся ядер: A = λN. Пока λ постоянна для данного изотопа, уменьшение N приводит к такому же относительному уменьшению A. Поэтому активность со временем убывает экспоненциально и через каждый период полураспада становится вдвое меньше. Единица активности, беккерель, равна одному распаду в секунду.

Величины и формулы закона радиоактивного распада

Сначала определите, какая величина известна и какую требуется найти. Если удобнее считать число прошедших периодов полураспада, используйте последовательное деление на два. Для вычисления активности применяйте A = λN, не забывая согласовать единицы времени.

Разбор задач

Доля ядер после нескольких периодов

Период полураспада изотопа равен 8 суткам. Какая доля первоначального числа ядер останется через 24 суток? Удобно сравнить прошедшее время с периодом полураспада, потому что за каждый период остаток уменьшается вдвое. Нужно найти не число распавшихся, а долю оставшихся ядер.

1. Находим число периодов: 24 суток / 8 суток = 3.
2. После первого периода остаётся 1/2 исходного количества, после второго — 1/4, после третьего — 1/8.
3. Проверяем смысл результата: осталось меньше половины, потому что прошло несколько периодов, и доля уменьшается при каждом из них.

Ответ: 1/8 первоначального числа ядер, или 12,5%. Это доля нераспавшихся ядер; доля распавшихся равна 7/8. Не следует подменять одну величину другой.

Масса вещества после распада

В образце было 800 мг радиоактивного вещества с периодом полураспада 5 лет. Сколько вещества останется через 15 лет? Сначала определим число прошедших периодов. Масса изотопа уменьшается в той же пропорции, что и число его ядер, поэтому к ней можно применить правило деления пополам.

1. Вычисляем число периодов: 15 лет / 5 лет = 3.
2. Находим оставшуюся долю: (1/2)³ = 1/8.
3. Умножаем начальную массу на эту долю: 800 мг × 1/8 = 100 мг.

Ответ: 100 мг вещества. Проверка проста: после трёх последовательных уменьшений вдвое получаем 800 → 400 → 200 → 100 мг. Масса убывает не линейно, поэтому нельзя вычитать одно и то же количество миллиграммов за каждый период.

Период по изменению активности

Активность образца уменьшилась с 6400 Бк до 800 Бк за 12 часов. Найдите период полураспада и активность через ещё 6 часов. Активность пропорциональна числу нераспавшихся ядер, поэтому отношение активностей показывает, во сколько раз уменьшилось их количество. После определения числа периодов можно найти длительность одного периода.

1. Находим отношение: 6400 / 800 = 8 = 2³. Значит, за 12 часов прошло три периода полураспада.
2. Вычисляем период: T = 12 ч / 3 = 4 ч.
3. Ещё 6 часов — это 6/4 = 1,5 периода. Активность уменьшится в 2^1,5 раза: A = 800 / 2^1,5 ≈ 283 Бк.

Ответ: период полураспада равен 4 ч, а активность через следующие 6 ч составит примерно 283 Бк. Проверка направления изменения: активность должна стать меньше 800 Бк, поскольку прошло дополнительное время. Дробное число периодов допустимо; для него используют экспоненциальный закон, а не только последовательное деление целых чисел пополам.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что можно точно предсказать распад конкретного ядра. Так думают, потому что закон задаёт определённую формулу для образца, но она описывает статистическое поведение большого числа ядер. Проверка: спросите себя, идёт ли речь об одном ядре или о множестве ядер; для отдельного ядра момент распада неизвестен.

Иногда число распавшихся ядер N₀ − N путают с числом оставшихся N. В формуле N(t) = N₀e^(−λt) речь идёт именно о нераспавшихся ядрах, и при t = 0 должно получаться N₀. Проверить себя можно по предельному смыслу: со временем N уменьшается, а число распавшихся ядер, наоборот, растёт.

Ещё одна ошибка — подставлять в формулу время и постоянную распада с несовпадающими единицами. Например, нельзя использовать t в часах вместе с λ в с⁻¹ без перевода часов в секунды. Чтобы проверить расчёт, убедитесь, что произведение λt безразмерно; если это не так, единицы не согласованы.

Активность иногда считают постоянной или убывающей на одинаковое число единиц за равные промежутки времени. Это возникает из-за смешения экспоненциального и линейного изменения. Проверка: используйте A = λN — при уменьшении N во столько же раз уменьшается A, а не на постоянную величину.

Связь с другими темами

Для изучения радиоактивного распада нужны знания о строении атомного ядра и изотопах: изотопы одного элемента отличаются числом нейтронов, а некоторые из них нестабильны. Понятие вероятности случайного события помогает понять, почему момент распада отдельного ядра нельзя назначить заранее. Вместе эти знания объясняют, почему закон применим к большим образцам, хотя поведение отдельного ядра случайно.

Закон распада используют при радиоактивном датировании: по количеству оставшихся ядер или активности оценивают возраст образца. Он также помогает рассчитывать, как со временем меняется активность источника излучения. Для таких расчётов нужны период полураспада или постоянная распада конкретного изотопа.

Что запомнить

• Радиоактивный распад отдельного ядра случаен.
• Число нераспавшихся ядер убывает экспоненциально: N(t) = N₀e^(−λt).
• Постоянная распада λ характеризует скорость распада и имеет размерность, обратную времени.
• Период полураспада — время уменьшения числа ядер вдвое.
• Период полураспада и постоянная распада связаны равенством T = ln 2 / λ.
• Активность равна A = λN и измеряется в беккерелях.
• За n периодов полураспада остаётся доля 1/2ⁿ первоначального количества ядер.