§ 32. Закон Ома для полной цепи

Определения и обозначения

Электродвижущая сила (ЭДС) источника — работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда внутри источника. Её обозначают ε, а измеряют в вольтах. ЭДС показывает, насколько источник способен поддерживать движение зарядов в цепи, поэтому она нужна для расчёта тока.

Внутреннее сопротивление источника — сопротивление движению зарядов внутри самого источника. Его обозначают r и измеряют в омах. Оно учитывает, что источник не идеален и часть энергии передаваемого тока расходуется внутри него.

Закон Ома для полной цепи утверждает: сила тока в замкнутой цепи равна ЭДС, делённой на сумму внешнего и внутреннего сопротивлений, то есть I = ε/(R + r). Здесь R — сопротивление внешней цепи, а r — внутреннее сопротивление источника. Эта формула позволяет найти ток, учитывая всю цепь, а не только подключённый резистор.

Короткое замыкание — соединение полюсов источника участком с очень малым сопротивлением. Тогда внешнее сопротивление почти не ограничивает ток, и главным ограничителем становится внутреннее сопротивление источника. Понятие нужно, чтобы оценивать опасность резкого увеличения тока и понимать, почему нельзя напрямую соединять полюса источника.

Как это устроено

Внутри источника действуют сторонние силы, которые перемещают заряды против действия электрического поля и разделяют их по полюсам. Так поддерживается разность потенциалов, благодаря которой в подключённой цепи может возникнуть ток. ЭДС характеризует работу именно этих сил, а не просто напряжение на внешнем участке. Без такого разделения зарядов ток постепенно прекратился бы.

При прохождении тока заряды движутся не только по проводам, но и внутри источника. Там они встречают сопротивление, поэтому часть энергии превращается, например, во внутреннюю энергию источника. Чем больше внутреннее сопротивление, тем заметнее это влияние и тем труднее поддерживать большой ток. Поэтому внутреннее сопротивление нельзя исключать из расчёта всей цепи.

В замкнутой цепи ЭДС расходуется на преодоление сопротивления и во внешней части, и внутри источника. Падение напряжения на внешнем сопротивлении равно IR, а на внутреннем — Ir. Их сумма равна ЭДС: IR + Ir = ε. Если вынести ток за скобки, получится I(R + r) = ε, а затем закон Ома для полной цепи: I = ε/(R + r).

Напряжение на зажимах источника при отдаче тока меньше ЭДС, потому что часть ЭДС приходится на внутреннее сопротивление. Разность между ними равна Ir, поэтому U = ε − Ir. На внешнем участке то же напряжение выражается законом Ома U = IR. Эти формулы согласуются: напряжение, которое источник передаёт внешней цепи, равно падению напряжения на её сопротивлении.

Если цепь разомкнута, заряды по ней не движутся и ток равен нулю. Тогда падение напряжения внутри источника Ir тоже равно нулю, так что напряжение на зажимах равно ЭДС. При коротком замыкании сопротивление внешнего участка становится очень малым, а ток достигает значения Iкз = ε/r. Он остаётся конечным благодаря внутреннему сопротивлению, но может быть опасно большим.

Величины, используемые в законе Ома для полной цепи

Сначала по условию задачи определите, какие величины известны, и проверьте их единицы. Для тока в полной цепи используйте ε, R и r, а для напряжения на зажимах — U = ε − Ir или U = IR. Сопротивления в формулах должны быть выражены в омах, ЭДС и напряжение — в вольтах.

Разбор задач

Задача 1. Источник с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён к резистору сопротивлением 5 Ом. Найдите силу тока в цепи.

1. Записываем закон Ома для полной цепи: I = ε/(R + r). В знаменатель входят оба сопротивления, поскольку ток проходит и через внешний резистор, и через источник.
2. Подставляем значения: I = 12/(5 + 1) = 12/6 = 2 А. Проверяем размерность: вольт, делённый на ом, даёт ампер.

Ответ: сила тока равна 2 А.

Задача 2. ЭДС источника равна 9 В, внутреннее сопротивление — 0,5 Ом, ток — 2 А. Нужно найти внешнее сопротивление и напряжение на зажимах.

1. Из I = ε/(R + r) выражаем сумму сопротивлений: R + r = ε/I. Тогда R = ε/I − r = 9/2 − 0,5 = 4 Ом.
2. Находим напряжение на зажимах по внешнему участку: U = IR = 2 · 4 = 8 В. Для проверки используем формулу U = ε − Ir: 9 − 2 · 0,5 = 8 В.

Ответ: внешнее сопротивление равно 4 Ом, напряжение на зажимах — 8 В.

Задача 3. При сопротивлении резистора 4 Ом ток равен 1,5 А, а при сопротивлении 2 Ом ток равен 2 А. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление источника.

1. Для первого режима записываем ε = 1,5(4 + r), для второго — ε = 2(2 + r). ЭДС одна и та же, поэтому правые части равны.
2. Решаем уравнение: 6 + 1,5r = 4 + 2r, откуда 2 = 0,5r и r = 4 Ом. Подставляем значение в любое уравнение: ε = 1,5(4 + 4) = 12 В.

Ответ: ЭДС источника равна 12 В, внутреннее сопротивление — 4 Ом. Проверка по второму режиму даёт 12/(2 + 4) = 2 А, как и указано в условии.

Типичные ошибки

Ошибка — учитывать только внешнее сопротивление и записывать I = ε/R. Так поступают, когда мысленно считают источник идеальным и забывают о сопротивлении внутри него. Проверьте себя: в формуле для полной цепи в знаменателе должны стоять оба слагаемых, R и r.

ЭДС иногда принимают за напряжение на зажимах. Это разные величины при протекании тока: внутри источника возникает падение напряжения Ir, поэтому U = ε − Ir. Чтобы проверить ответ, вычислите U ещё и как IR; при согласованных данных результаты должны совпасть.

Нельзя складывать ЭДС и сопротивление или делить сопротивление на ЭДС. Такая ошибка возникает из-за неверного переноса формулы или невнимательности к единицам. Запомните структуру I = ε/(R + r) и проверьте размерность: В/Ом = А.

Ток короткого замыкания не бесконечен, даже если внешнее сопротивление очень мало. Бесконечный ток получился бы только в модели, где внутреннее сопротивление тоже равно нулю; у реального источника оно ограничивает ток. Для проверки используйте Iкз = ε/r и убедитесь, что r учтено.

Связь с другими темами

Для применения закона Ома для полной цепи нужно знать закон Ома для участка цепи: U = IR, а также понятия силы тока, напряжения и сопротивления. Полезно уметь находить общее сопротивление при последовательном соединении: сопротивления складываются. Эти знания позволяют связать параметры источника с характеристиками подключённой нагрузки.

Закон используют при расчёте реальных источников тока и при анализе того, почему напряжение на нагрузке отличается от ЭДС. Он также помогает оценивать последствия короткого замыкания: чем меньше внешнее сопротивление, тем больше ток. Поэтому понимание полной цепи важно и для решения задач, и для безопасной работы с источниками.

Что запомнить

• Для замкнутой цепи I = ε/(R + r).
• ЭДС характеризует действие сторонних сил внутри источника.
• Внутреннее сопротивление входит в общее сопротивление цепи.
• При отдаче тока напряжение на зажимах U = ε − Ir.
• На внешнем участке U = IR.
• При разомкнутой цепи ток равен нулю, а напряжение на зажимах равно ЭДС.
• Ток короткого замыкания Iкз = ε/r.