§ 5. Закон Ома для полной цепи

Определения и обозначения

Электродвижущая сила (ЭДС) источника — физическая величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного заряда внутри источника. ЭДС обозначают греческой буквой ε и измеряют в вольтах (В). Она характеризует способность источника поддерживать движение зарядов, а не силу, с которой источник «толкает» их. Знание ЭДС необходимо, чтобы рассчитывать ток в цепи.

Внутреннее сопротивление источника — сопротивление движению зарядов внутри самого источника. Его обозначают буквой r и измеряют в омах. Оно существует даже тогда, когда внешняя цепь собрана из идеальных проводников. Учёт r позволяет определить, какая часть энергии источника расходуется внутри него.

Внешнее сопротивление — сопротивление участка цепи, подключённого к источнику. Его обозначают буквой R, а единицей измерения также служит ом. В простейшей цепи это сопротивление резистора или другого подключённого потребителя. Значение R помогает понять, какую нагрузку испытывает источник и какой ток возникнет.

Закон Ома для полной цепи — зависимость силы тока в замкнутой цепи от ЭДС источника и полного сопротивления цепи. Он учитывает сопротивление как внешнего участка, так и самого источника. Поэтому закон применяют для расчёта цепи целиком, а не отдельного резистора. С его помощью можно найти ток, если известны ЭДС и оба сопротивления.

Как это устроено

Внутри источника действуют сторонние силы, которые перемещают заряды против электрического поля и разделяют их. При замыкании цепи заряды начинают двигаться по замкнутому пути, а источник поддерживает это движение, восполняя энергию, отданную во внешней цепи. Работа сторонних сил в расчёте на единичный заряд и есть ЭДС. Поэтому именно ЭДС выступает причиной поддержания тока, а не характеристикой одного только внешнего участка.

Чтобы образовался ток, заряды должны пройти весь замкнутый контур. На внешнем участке они встречают сопротивление R, а внутри источника — сопротивление r. Поскольку эти участки последовательно включены в один путь тока, их сопротивления складываются: полное сопротивление равно R + r. Если учесть только R, часть препятствия движению зарядов останется за пределами расчёта.

Для получения закона полной цепи можно связать ЭДС с работой по перемещению заряда на всём пути и учесть падение напряжения на внешнем и внутреннем сопротивлениях. На каждом участке падение напряжения пропорционально току: на внешнем оно равно IR, на внутреннем — Ir. Их сумма равна ЭДС, поэтому ε = IR + Ir = I(R + r), откуда I = ε/(R + r). Здесь I измеряется в амперах, ε — в вольтах, а R и r — в омах; формула описывает замкнутую цепь с одним источником.

Напряжение на зажимах источника — это напряжение, приложенное к внешнему участку, поэтому U = IR. Из равенства ε = IR + Ir следует U = ε − Ir. При протекании тока часть ЭДС приходится на преодоление внутреннего сопротивления, и напряжение на зажимах оказывается меньше ЭДС. Чем больше ток или внутреннее сопротивление, тем больше это внутреннее падение напряжения.

Короткое замыкание возникает, когда зажимы источника соединены проводником с очень малым сопротивлением, то есть внешнее R близко к нулю. Тогда ток приближается к максимальному значению Iкз = ε/r: сопротивление источника остаётся единственным существенным ограничителем. Такой ток может быстро нагреть провода и источник, вызвать повреждение изоляции или пожар. Поэтому нельзя замыкать зажимы источника напрямую, если он не предназначен для такого режима.

Величины и режимы полной электрической цепи

Сначала определите, какая величина дана и какую нужно найти, затем выберите соответствующее соотношение. Если вычисляете ток, включайте в знаменатель и внешнее, и внутреннее сопротивления. Для напряжения на зажимах можно использовать любой из двух равных способов: U = IR или U = ε − Ir.

Разбор задач

Задача 1. Источник с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён к резистору сопротивлением 5 Ом. Найдите силу тока в цепи. Искомый ток определяется всем замкнутым контуром, поэтому сначала нужно сложить сопротивления. Затем применим закон Ома для полной цепи.

1. Выпишем данные: ε = 12 В, r = 1 Ом, R = 5 Ом.
2. Найдём полное сопротивление: R + r = 5 Ом + 1 Ом = 6 Ом.
3. Подставим значения: I = ε/(R + r) = 12 В/6 Ом = 2 А.

Ответ: сила тока в цепи равна 2 А. Проверка размерности даёт вольт, делённый на ом, то есть ампер. Если бы внутреннее сопротивление забыли, получилось бы 12/5 А — ток был бы завышен.

Задача 2. Источник с ЭДС 9 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом подключён к резистору. Сила тока равна 3 А. Найдите сопротивление резистора и напряжение на зажимах источника. Сначала из формулы полной цепи найдём неизвестное внешнее сопротивление. После этого вычислим напряжение на внешнем участке.

1. Запишем закон: I = ε/(R + r), откуда R + r = ε/I.
2. Получим R = ε/I − r = 9 В/3 А − 0,5 Ом = 2,5 Ом.
3. Найдём напряжение: U = IR = 3 А · 2,5 Ом = 7,5 В.
4. Проверим другим способом: U = ε − Ir = 9 В − 3 А · 0,5 Ом = 7,5 В.

Ответ: сопротивление резистора равно 2,5 Ом, напряжение на зажимах — 7,5 В. Совпадение двух способов вычисления подтверждает результат. Разность между ЭДС и напряжением на зажимах, 1,5 В, приходится на внутреннее сопротивление.

Задача 3. При подключении резистора 4 Ом сила тока равна 2 А, а при подключении резистора 2 Ом — 3 А. Определите ЭДС и внутреннее сопротивление источника. Поскольку источник один и тот же, в обоих случаях ε и r одинаковы. Запишем закон полной цепи отдельно для каждого режима и решим систему.

1. Первый режим: ε = 2(4 + r) = 8 + 2r.
2. Второй режим: ε = 3(2 + r) = 6 + 3r.
3. Приравняем выражения: 8 + 2r = 6 + 3r, откуда r = 2 Ом.
4. Подставим r в первое уравнение: ε = 8 + 2 · 2 = 12 В.

Ответ: внутреннее сопротивление источника равно 2 Ом, ЭДС — 12 В. Проверка: в первом режиме I = 12/(4 + 2) = 2 А, во втором I = 12/(2 + 2) = 3 А. Оба результата совпадают с условием.

Типичные ошибки

Не учитывать внутреннее сопротивление. Тогда в формулу подставляют только R, хотя ток проходит и внутри источника. Это происходит, когда цепь мысленно ограничивают подключённым резистором. Проверьте себя: в знаменателе для полной цепи должно стоять R + r.

Считать напряжение на зажимах всегда равным ЭДС. Такое равенство верно для идеализированного источника без тока, но при работающей цепи внутри источника есть падение Ir. Ошибку допускают, смешивая ЭДС и напряжение внешнего участка. Проверьте расчёт по формулам U = IR и U = ε − Ir: ответы должны совпасть.

Путать ЭДС с напряжением. ЭДС характеризует работу сторонних сил внутри источника на единичный заряд, а напряжение на зажимах относится к внешнему участку и меняется с режимом цепи. Сходство единиц измерения не делает эти величины одинаковыми. Уточните, какая величина дана: параметр источника или напряжение при конкретном токе.

Находить ток короткого замыкания как ε/R при R = 0. Такая подстановка приводит к делению на ноль, потому что в расчёте потеряно внутреннее сопротивление. В реальном источнике сопротивление r ограничивает ток. Для короткого замыкания используйте Iкз = ε/r и помните, что даже этот ток может быть опасным.

Связь с другими темами

Для изучения полной цепи нужны закон Ома для участка цепи и понятия силы тока, напряжения и сопротивления. Закон Ома для участка описывает отдельную часть цепи, а закон для полной цепи добавляет сопротивление источника и его ЭДС. Этот подход используют при расчёте разветвлённых и неразветвлённых цепей. Он также помогает оценивать работу источников питания и опасность короткого замыкания.

Что запомнить

• Полное сопротивление цепи равно R + r.
• Сила тока в замкнутой цепи: I = ε/(R + r).
• ЭДС измеряется в вольтах.
• Напряжение на зажимах источника: U = IR = ε − Ir.
• При разомкнутой цепи ток равен нулю, а напряжение на зажимах идеализированного источника равно ЭДС.
• Ток короткого замыкания ограничен внутренним сопротивлением: Iкз = ε/r.