§ 11. Импульс. Закон сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mυ. Буква p обозначает импульс, а его направление совпадает с направлением скорости. Эта величина нужна, чтобы описывать движение и сравнивать, насколько трудно остановить разные тела.

Импульс силы — векторная величина, равная произведению силы на время её действия: I = FΔt. Обычно его обозначают буквой I, а единица измерения — ньютон-секунда, Н·с. Импульс силы помогает определить, насколько изменится движение тела под действием силы.

Замкнутая система тел — это система, на которую внешние силы не действуют или действие внешних сил можно считать взаимно скомпенсированным. Внутри такой системы тела могут взаимодействовать друг с другом. Именно для неё можно применять закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса утверждает: полный импульс замкнутой системы тел остаётся неизменным. Иными словами, сумма импульсов до взаимодействия равна сумме импульсов после него. Закон особенно полезен при столкновениях, когда силы взаимодействия велики, а подробности их действия неизвестны.

Как это устроено

Импульс зависит и от массы, и от скорости, потому что обе величины влияют на изменение движения. При одинаковой скорости грузовик труднее остановить, чем легковую машину: его масса больше, значит, больше и импульс. При одинаковой массе быстрее движущееся тело также имеет больший импульс.

Импульс тела является вектором, поскольку в его формулу входит скорость, а скорость имеет направление. Поэтому два одинаковых по модулю импульса, направленных в противоположные стороны, при сложении могут дать ноль. В задачах выбирают положительное направление оси, а противоположные скорости и импульсы записывают со знаком минус.

Если на тело действует постоянная сила, она сообщает ему ускорение и изменяет скорость. Изменение скорости приводит к изменению импульса: Δp = mΔυ. Поскольку Δυ = aΔt и F = ma, получаем Δp = FΔt, то есть импульс силы равен изменению импульса тела.

При взаимодействии двух тел каждое из них действует на другое с силой. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. За одно и то же время изменения импульсов тел тоже равны по модулю и противоположны: Δp₁ = −Δp₂.

Если внешние силы отсутствуют или их равнодействующая равна нулю, изменения импульсов внутри системы взаимно компенсируются. Поэтому сумма импульсов всех тел не меняется: p₁ + p₂ + … = const. Именно это и означает сохранение полного импульса замкнутой системы.

Импульс тела и импульс силы

Сначала определите, о какой величине говорится в условии: о движущемся теле или о действующей силе. Затем выберите подходящую строку и проверьте единицы измерения. При сложении нескольких импульсов обязательно учитывайте их направления.

Разбор задач

Задача 1. Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Найдём его импульс. Направление импульса совпадает с направлением движения тела.

1. Записываем формулу: p = mυ.
2. Подставляем значения: p = 2 кг · 3 м/с = 6 кг·м/с.
3. Указываем направление результата — вдоль скорости тела.

Ответ: p = 6 кг·м/с, импульс направлен по движению тела. Масса и скорость входят в формулу как множители, поэтому увеличение любой из них увеличило бы импульс.

Задача 2. На тело действует постоянная сила 5 Н в течение 4 с. Требуется найти импульс силы и изменение импульса тела. Так как сила постоянна, используем формулу I = FΔt.

1. Переводить величины не нужно: сила уже дана в ньютонах, время — в секундах.
2. Вычисляем импульс силы: I = 5 Н · 4 с = 20 Н·с.
3. Используем связь I = Δp и получаем Δp = 20 кг·м/с.

Ответ: импульс силы равен 20 Н·с, а импульс тела изменился на 20 кг·м/с. Направление изменения импульса совпадает с направлением силы.

Задача 3. Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой массой 1 кг. После сцепления тележки движутся вместе. Систему считаем замкнутой и направляем ось по движению первой тележки.

1. До столкновения общий импульс равен: pдо = 2 кг · 3 м/с + 1 кг · 0 = 6 кг·м/с.
2. После сцепления масса системы равна 2 кг + 1 кг = 3 кг, поэтому pпосле = 3 кг · υ.
3. По закону сохранения импульса: 6 = 3υ, откуда υ = 2 м/с.

Ответ: после столкновения тележки движутся вместе со скоростью 2 м/с в первоначальном направлении первой тележки. Скорость уменьшилась, потому что та же величина общего импульса теперь приходится на большую массу.

Типичные ошибки

Складывать модули импульсов без учёта направлений. Так поступают, когда забывают, что импульс является вектором. Выберите ось и поставьте знак минус у движения, направленного противоположно оси.

Путать импульс тела и импульс силы. Первый вычисляют по формуле p = mυ, а второй — по формуле I = FΔt. Проверьте, какие величины даны в условии: масса и скорость или сила и время.

Применять закон сохранения к одному телу. Импульс отдельного тела может изменяться под действием силы другого тела. Записывайте закон для всей системы взаимодействующих тел.

Не учитывать внешние силы. Закон сохранения нельзя автоматически применять к любой группе тел. Перед решением проверьте, можно ли считать систему замкнутой или равнодействующую внешних сил равной нулю.

Связь с другими темами

Для изучения импульса нужны понятия массы, скорости, силы и ускорения. Связь импульса силы с изменением импульса следует из второго закона Ньютона, а противоположность изменений импульсов тел объясняется третьим законом Ньютона.

Закон сохранения импульса помогает разбирать столкновения и отдачу. Он также используется при объяснении реактивного движения: газ получает импульс в одну сторону, а ракета — в противоположную.

Что запомнить

• Импульс тела равен произведению массы на скорость: p = mυ.
• Импульс тела — векторная величина.
• Импульс силы равен произведению силы на время её действия: I = FΔt.
• Импульс силы равен изменению импульса тела: I = Δp.
• Полный импульс замкнутой системы сохраняется.
• При решении задач важно учитывать направления импульсов.