§ 11. Импульс. Закон сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Буквой p обозначают импульс, а направление вектора совпадает с направлением скорости. Импульс нужен, чтобы учитывать одновременно, насколько тело массивно и насколько быстро оно движется.

Импульс силы — векторная величина, равная произведению постоянной силы на время её действия: FΔt. Его направление совпадает с направлением силы. Импульс силы показывает, какое изменение импульса тела вызвало действие силы за выбранный промежуток времени.

Замкнутая система тел — система, на которую внешние силы не действуют или действуют настолько слабо, что ими можно пренебречь. Внутри такой системы тела могут взаимодействовать друг с другом. Это понятие позволяет применять закон сохранения импульса к выбранным телам.

Закон сохранения импульса утверждает: в замкнутой системе векторная сумма импульсов тел не изменяется при их взаимодействии. Иными словами, общий импульс до столкновения равен общему импульсу после него. Закон помогает найти неизвестную скорость, даже если подробности взаимодействия неизвестны.

Как это устроено

Импульс зависит и от массы, и от скорости, потому что оба свойства влияют на движение тела. Если лёгкое и тяжёлое тела движутся с одинаковой скоростью, у тяжёлого импульс больше: его труднее остановить или изменить его движение. При одинаковой массе быстрее движущееся тело также имеет больший импульс, поэтому в формуле перемножаются m и v.

Связь импульса силы с изменением импульса получается из второго закона Ньютона. Для тела постоянной массы ускорение равно изменению скорости за время: a = Δv/Δt, а сила равна ma. Умножив равенство F = ma на Δt и учитывая p = mv, получаем FΔt = mΔv = Δp. Значит, сила сообщает телу изменение импульса, а больший промежуток действия той же силы приводит к большему изменению.

При взаимодействии двух тел импульсы меняются, потому что каждое тело действует на другое силой. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и противоположны по направлению, а во время взаимодействия действуют одно и то же время. Поэтому импульсы сил, полученные телами, тоже противоположны: изменение импульса одного тела компенсирует изменение импульса другого.

Из этого следует сохранение суммарного импульса. Если внешние силы отсутствуют или их действием можно пренебречь, изменения импульсов внутри системы взаимно компенсируются. Тогда общий импульс системы остаётся прежним, хотя импульсы отдельных тел могут измениться и тела могут начать двигаться иначе.

Для столкновения или разлёта сначала выбери систему тел, а затем направление оси. Запиши импульсы до и после взаимодействия с учётом направления: движение против выбранной оси имеет отрицательный знак. Приравняй сумму импульсов до взаимодействия сумме после него и найди неизвестную величину. Если тела после столкновения сцепились, их конечная скорость общая; при разлёте знаки скоростей могут быть противоположными.

Импульс тела и импульс силы

Сначала определите, какая величина дана или требуется: импульс тела связан с массой и скоростью, а импульс силы — с силой и временем. Векторное направление учитывайте отдельно от модуля. Равенство единиц Н·с и кг·м/с помогает проверить, что формула и вычисления согласованы.

Разбор задач

Модуль импульса тела

Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Нужно найти модуль его импульса. Направление в условии не требуется, поэтому вычисляем только значение произведения массы на модуль скорости.

1. Записываем формулу: p = mv.
2. Подставляем данные: p = 2 кг · 3 м/с = 6 кг·м/с.
3. Проверяем единицы: масса умножена на скорость, значит получилась единица импульса тела.

Ответ: 6 кг·м/с.

Столкновение тележек

Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой массой 1 кг. После столкновения тележки сцепляются и движутся вместе. Выберем направление первоначального движения первой тележки за положительное и найдём общую скорость.

1. Система из двух тележек считается замкнутой на время столкновения, поэтому записываем сохранение импульса: m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)u.
2. Вторая тележка до удара неподвижна, значит v₂ = 0. Подставляем: 2 · 3 + 1 · 0 = (2 + 1)u.
3. Получаем 6 = 3u, откуда u = 2 м/с. Положительный знак означает, что тележки движутся в выбранном направлении.

Ответ: 2 м/с в направлении первоначального движения первой тележки.

Прыжок с лодки

Человек массой 60 кг стоит на неподвижной лодке массой 120 кг и прыгает горизонтально со скоростью 2 м/с относительно берега. До прыжка человек и лодка покоились, поэтому начальный импульс системы равен нулю. Найдём скорость лодки, учитывая, что она движется в сторону, противоположную прыжку.

1. Направим ось туда, куда прыгает человек. После прыжка скорость человека равна +2 м/с, а скорость лодки обозначим u.
2. По закону сохранения импульса: 0 = 60 · 2 + 120u. Ноль слева — начальный импульс человека и лодки.
3. Решаем уравнение: 120u = −120, поэтому u = −1 м/с. Минус показывает движение лодки против выбранной оси.

Ответ: скорость лодки 1 м/с в сторону, противоположную прыжку человека.

Типичные ошибки

• Считать импульс скаляром и складывать только модули — значит забывать, что импульс направлен вдоль скорости. Такую ошибку часто допускают, когда в уравнении сразу подставляют положительные значения всех скоростей. Выбери ось и проверь, что тела, движущиеся в разные стороны, получили разные знаки.
• Применять закон сохранения импульса, когда на систему существенно действуют внешние силы, нельзя без дополнительного обоснования. Закон используют для замкнутой системы или когда внешним воздействием допустимо пренебречь. Перед записью уравнения перечисли выбранные тела и оцени, могут ли внешние силы заметно изменить их общий импульс.
• Путать импульс тела mv и импульс силы FΔt легко из-за одинакового слова «импульс». Первый описывает движение тела, второй — действие силы за время; эти величины связаны равенством FΔt = Δp. Проверь, какие данные даны: масса и скорость указывают на импульс тела, сила и время — на импульс силы.
• Если не поставить отрицательный знак скорости тела, движущегося против выбранного направления оси, уравнение сохранения импульса получится неверным. Ошибку провоцирует запись всех скоростей только их положительными модулями. Нарисуй направления движения и сопоставь знак каждой скорости с выбранной осью до подстановки чисел.

Связь с другими темами

Для изучения импульса нужны понятия массы, скорости и силы, а также второй и третий законы Ньютона. Второй закон связывает импульс силы с изменением импульса тела, а третий объясняет компенсацию изменений при взаимодействии. Закон сохранения импульса применяют в задачах о столкновениях, разлёте тел и отдаче. Он также понадобится при изучении законов сохранения в механике.

Что запомнить

• Импульс тела — вектор: p = mv.
• Направление импульса совпадает с направлением скорости тела.
• Импульс силы при постоянной силе равен FΔt.
• Импульс силы равен изменению импульса тела.
• В замкнутой системе суммарный импульс сохраняется.
• При расчётах нужно учитывать направления импульсов всех тел.