§ 40. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Закон всемирного тяготения утверждает: любые два тела с массой взаимно притягиваются. Это относится не только к Земле и предметам около неё, но и к планетам, звёздам и обычным телам. Закон нужен, чтобы рассчитывать гравитационное взаимодействие количественно.

Сила всемирного тяготения — сила притяжения между двумя телами, направленная вдоль линии, соединяющей их центры. Её обозначают F и измеряют в ньютонах. По этой силе можно определить, насколько сильно тела воздействуют друг на друга.

Гравитационная постоянная G — одинаковая для всех тел физическая постоянная: G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она показывает масштаб гравитационного взаимодействия в выбранной системе единиц. Малое числовое значение объясняет, почему притяжение обычных предметов трудно заметить.

Центры масс тел — точки, в которых условно сосредоточена масса тела при расчётах. Для однородного шара такой центр совпадает с его геометрическим центром. Расстояние между этими точками обозначают r и используют в формуле закона.

Как это устроено

Ньютон сопоставил падение тел на Землю с движением Луны и планет. Если Земля притягивает яблоко, то она должна притягивать и Луну, хотя Луна постоянно движется вокруг Земли. Наблюдения показали, что одна и та же сила может сообщать телу ускорение вниз и одновременно искривлять его путь вокруг планеты.

В формуле F = Gm₁m₂/r² массы перемножаются, потому что взаимодействуют оба тела. Если массу одного тела увеличить в 3 раза, каждое условие взаимодействия станет сильнее в 3 раза, поэтому сила также возрастёт втрое. Увеличение обеих масс в 2 раза даст увеличение силы в 4 раза.

Расстояние стоит в знаменателе и возведено в квадрат, поскольку влияние тела распространяется во все стороны по сферической области. При удалении одна и та же величина взаимодействия распределяется по поверхности, площадь которой растёт как квадрат радиуса. Поэтому увеличение расстояния в 2 раза уменьшает силу в 4 раза, а в 3 раза — в 9 раз.

Формулу читают так: силу F находят, умножая G на m₁ и m₂, а затем деля результат на r². Сила, действующая на первое тело, направлена к второму, а сила, действующая на второе, — к первому. Эти силы равны по модулю, но направлены противоположно.

Материальными точками тела считают, когда их размерами можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Однородные шары можно рассматривать так, будто вся их масса сосредоточена в центре. Для тел сложной формы такой приём допустим не всегда: нужно учитывать распределение массы и положение центра масс.

Величины и зависимости в законе всемирного тяготения

Сначала найдите в условии массы и расстояние, затем проверьте, что они выражены в килограммах и метрах. По таблице легко увидеть, как изменится сила при изменении каждой величины. Направление определяют отдельно: каждое тело притягивается к другому.

Разбор задач

Задача 1

Два тела имеют массы 1000 кг и 2000 кг, а расстояние между их центрами равно 10 м. Требуется найти силу притяжения. Используем G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг².

1. Записываем закон: F = Gm₁m₂/r².
2. Возводим расстояние в квадрат: r² = 10² = 100 м².
3. Подставляем значения: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 1000 · 2000 / 100.
4. После сокращения получаем F ≈ 1,33 · 10⁻⁶ Н.

Ответ: сила притяжения примерно равна 1,33 · 10⁻⁶ Н. Она направлена вдоль линии центров, каждое тело притягивается к другому.

Задача 2

Массу одного тела увеличили в 3 раза, а расстояние между телами — в 2 раза. Нужно определить, во сколько раз изменится сила без вычисления её начального значения.

1. Увеличение массы в 3 раза увеличивает силу в 3 раза.
2. Увеличение расстояния в 2 раза уменьшает силу в 2² = 4 раза.
3. Общий множитель равен 3/4, потому что изменения перемножаются.

Ответ: новая сила составит ¾ первоначальной, то есть уменьшится в 4/3 раза.

Задача 3

Известны массы двух тел и сила их притяжения. Требуется найти расстояние между центрами тел. Неизвестное расстояние находится в знаменателе, поэтому формулу нужно преобразовать.

1. Записываем F = Gm₁m₂/r².
2. Умножаем обе части на r² и делим на F: r² = Gm₁m₂/F.
3. Извлекаем квадратный корень: r = √(Gm₁m₂/F).
4. Подставляем величины в СИ и проверяем, что результат получен в метрах.

Ответ: расстояние вычисляют по формуле r = √(Gm₁m₂/F). Корень берут только после подстановки всех известных значений.

Типичные ошибки

Забывают квадрат расстояния. Запись F = Gm₁m₂/r меняет закон и даёт неверный результат. Проверьте знаменатель: там обязательно стоит r².

Считают, что тела притягиваются только к Земле. Закон относится к любым двум телам с массой, хотя возле Земли эффект особенно заметен. Проверьте формулировку задачи: в ней не обязательно должна присутствовать планета.

Берут расстояние между поверхностями. Для шаров в формулу подставляют расстояние между центрами, а не ближайшими точками. Нарисуйте центры тел и проведите отрезок между ними.

Путают силу, массу и ускорение свободного падения. Сила измеряется в ньютонах, масса — в килограммах, а ускорение — в м/с². Сверяйте и единицы, и формулу: F = Gm₁m₂/r² не является формулой для g или массы.

Связь с другими темами

До изучения закона нужны понятия массы и силы, второй закон Ньютона, единицы СИ и действия со степенями. Закон объясняет движение планет и искусственных спутников: гравитация искривляет их траектории и удерживает на орбитах. Для планеты из него получают зависимость ускорения свободного падения g от её массы и радиуса; с этой силой связано и понятие веса тела.

Что запомнить

• Любые тела с массой взаимно притягиваются.
• Сила тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел.
• Сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Закон выражается формулой F = Gm₁m₂/r².
• Силы взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей центры тел, и равны по модулю.
• Гравитационная постоянная G одинакова для всех тел.
• Для шарообразных тел расстояние в формуле отсчитывают между их центрами.