§ 49. Закон Ома для полной цепи

Определения и обозначения

Электродвижущая сила (ЭДС) — энергетическая характеристика источника: она показывает работу сторонних сил по переносу единичного заряда и обозначается ε. Её измеряют в вольтах, как и напряжение. ЭДС нужна для описания того, какую энергию источник сообщает зарядам, а не того, какое напряжение обязательно будет на его зажимах.

Внутреннее сопротивление — сопротивление проводящих частей источника, обозначаемое r и измеряемое в омах. Когда внутри источника течёт ток, на этом сопротивлении возникает падение напряжения Ir. Учёт r позволяет объяснить, почему реальные источники ведут себя не так, как идеальные.

Полная электрическая цепь — замкнутая цепь, включающая источник с ЭДС и внутренним сопротивлением, а также внешнее сопротивление R. Ток проходит и через источник, и через внешнюю часть цепи. Поэтому при расчёте всей цепи нельзя ограничиваться сопротивлением подключённого резистора.

Закон Ома для полной цепи задаёт силу тока формулой I = ε/(R + r), где R — внешнее сопротивление, а r — внутреннее. В числителе находится ЭДС, создающая ток, а в знаменателе — полное сопротивление цепи. Формула помогает найти ток, когда известны свойства источника и подключённой нагрузки.

Как это устроено

Реальный источник удобно представлять как идеальный источник ЭДС ε, соединённый последовательно с внутренним сопротивлением r. Идеальная часть сообщает зарядам энергию, а сопротивление описывает потери внутри источника. Такая модель разделяет две причины поведения цепи и позволяет применять знакомые правила для последовательного соединения.

Пусть за время t через цепь прошёл заряд q, а сила тока равна I. Источник совершает работу εq; она расходуется на нагрев внешнего сопротивления R и внутреннего сопротивления r. По закону Джоуля — Ленца эти количества теплоты равны I²Rt и I²rt, поэтому εq = I²Rt + I²rt.

Чтобы получить формулу тока, используем связь заряда и тока: q = It. Подставив её в энергетическое равенство и разделив обе части на It, получаем ε = IR + Ir. Выносим I за скобки: ε = I(R + r), откуда следует закон Ома для полной цепи I = ε/(R + r).

Напряжение U на зажимах источника — это напряжение, которое действует на внешнюю цепь. Из-за падения напряжения Ir внутри источника оно меньше ЭДС: U = ε − Ir. На внешнем резисторе по закону Ома U = IR, поэтому обе записи равны: U = ε − Ir = IR.

Если увеличить внешнее сопротивление R при неизменных ε и r, знаменатель формулы тока вырастет, а сила тока уменьшится. Тогда уменьшается и падение Ir внутри источника, поэтому напряжение на зажимах приближается к ЭДС. При коротком замыкании внешнее сопротивление близко к нулю, и ток становится очень большим; однако его ограничивает r, так что Iкз = ε/r.

Величины и соотношения в полной электрической цепи

Сначала определите, какая величина известна и какую требуется найти, затем выберите соответствующую формулу. В таблице R относится к внешней нагрузке, а r — к самому источнику, поэтому в формуле тока учитываются оба сопротивления. Не путайте единицы: сопротивление выражают в омах, ток — в амперах, напряжение и ЭДС — в вольтах.

Разбор задач

Задача 1

Источник имеет ЭДС 12 В и внутреннее сопротивление 1 Ом, к нему подключён резистор сопротивлением 5 Ом. Найти силу тока в цепи и напряжение на резисторе. Сначала нужно учесть, что заряд проходит через оба сопротивления, а затем найти напряжение на внешнем резисторе. Решение:

1. Записываем данные: ε = 12 В, r = 1 Ом, R = 5 Ом.
2. Находим ток: I = ε/(R + r) = 12/(5 + 1) = 2 А.
3. Находим напряжение резистора: U = IR = 2 · 5 = 10 В.

Ответ: сила тока равна 2 А, напряжение на резисторе — 10 В. Оно меньше ЭДС на 2 В, поскольку внутри источника возникает падение напряжения Ir = 2 · 1 = 2 В. Проверка по формуле U = ε − Ir даёт 12 − 2 = 10 В.

Задача 2

При подключении резистора 8 Ом ток равен 1 А, а напряжение на зажимах — 8 В; ток короткого замыкания равен 4 А. Нужно найти ЭДС и внутреннее сопротивление. Напряжение на резисторе подтверждает закон Ома для внешнего участка, а ток короткого замыкания связывает ЭДС с r. Решение:

1. По току короткого замыкания ε = Iкзr = 4r.
2. Для обычной нагрузки U = ε − Ir, поэтому 8 = ε − r, так как I = 1 А.
3. Подставляем ε = 4r: 8 = 4r − r, откуда r = 8/3 Ом ≈ 2,67 Ом, а ε = 4r = 32/3 В ≈ 10,67 В.

Ответ: ЭДС равна примерно 10,67 В, внутреннее сопротивление — примерно 2,67 Ом. Проверка: 8 + 1 · 2,67 ≈ 10,67 В, что совпадает с найденной ЭДС. Также 10,67/2,67 ≈ 4 А — заданный ток короткого замыкания.

Задача 3

При сопротивлении 2 Ом источник даёт ток 2 А, а при сопротивлении 6 Ом — ток 1 А. Требуется определить ЭДС, внутреннее сопротивление и ток короткого замыкания. Для каждого режима записываем закон Ома для полной цепи; неизвестные ε и r одни и те же, поскольку источник не меняется. Решение:

1. Первый режим: ε = 2(2 + r) = 4 + 2r.
2. Второй режим: ε = 1(6 + r) = 6 + r. Приравниваем выражения: 4 + 2r = 6 + r, откуда r = 2 Ом.
3. Подставляем значение r: ε = 6 + 2 = 8 В. Тогда Iкз = ε/r = 8/2 = 4 А.

Ответ: ε = 8 В, r = 2 Ом, Iкз = 4 А. Проверяем режимы: 8/(2 + 2) = 2 А и 8/(6 + 2) = 1 А. Оба результата совпадают с условием, значит система уравнений составлена верно.

Типичные ошибки

Ошибка — использовать I = ε/R и не учитывать внутреннее сопротивление. Так поступают, когда переносят формулу закона Ома для внешнего участка на всю цепь. Проверьте, включён ли в условие реальный источник: если дано r или требуется расчёт полной цепи, в знаменателе должно быть R + r.

ЭДС иногда принимают за напряжение на зажимах, потому что обе величины измеряются в вольтах. Но при токе часть ЭДС расходуется внутри источника, поэтому U = ε − Ir. Для проверки сравните формулы: при r > 0 и I > 0 клеммное напряжение должно быть меньше ЭДС.

Нельзя вычитать внутреннее сопротивление из внешнего или учитывать его отдельно от общего сопротивления. Ток проходит через R и r последовательно, поэтому они складываются; ошибка возникает, если забыть, что ток проходит и внутри источника. Проверьте схему и убедитесь, что в формуле стоит сумма R + r.

Считать ток короткого замыкания бесконечным — неверно, хотя внешнее сопротивление при замыкании очень мало. В реальном источнике остаётся внутреннее сопротивление, которое ограничивает ток. Подставьте R ≈ 0 в закон Ома для полной цепи: получится конечное значение Iкз = ε/r.

Связь с другими темами

Для изучения полной цепи нужны закон Ома для участка цепи, правила последовательного соединения сопротивлений, а также понятия работы и мощности электрического тока. Эти знания позволяют перейти от расчёта отдельного резистора к учёту всего пути тока и энергии, передаваемой источником. Закон применяется при расчёте реальных батарей, аккумуляторов и других источников питания.

Дальше он помогает находить мощность источника и оценивать коэффициент полезного действия, то есть долю энергии, которая передаётся внешней цепи. При расчёте разветвлённых схем закон используют вместе с правилами Кирхгофа. Так анализируют цепи, где одного последовательного соединения уже недостаточно.

Что запомнить

• Полная цепь включает внешнюю часть цепи и внутреннее сопротивление источника.
• Закон Ома для полной цепи: I = ε/(R + r).
• Внутреннее сопротивление ограничивает силу тока в цепи.
• Напряжение на зажимах источника: U = ε − Ir = IR.
• При увеличении внешнего сопротивления сила тока уменьшается.
• Ток короткого замыкания: Iкз = ε/r.
• ЭДС и напряжение на зажимах — разные величины при наличии тока.