2. Линзы

Определения и обозначения

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя преломляющими поверхностями. Когда свет проходит через эти поверхности, его направление меняется из-за преломления. Поэтому линза может собирать или рассеивать свет и создавать изображения предметов.

Оптический центр O — точка тонкой линзы, через которую луч проходит практически без отклонения. Главная оптическая ось — прямая через центры поверхностей линзы; на схеме её проводят горизонтально, а линзу изображают вертикальной линией. Эти обозначения помогают задать направление лучей и расположение линзы.

Главный фокус F собирающей линзы — точка на главной оси, где после преломления сходятся лучи, шедшие параллельно оси. У рассеивающей линзы сами лучи расходятся, но их продолжения пересекаются в фокусе за линзой со стороны падающего света. Значит, фокус собирающей линзы действительный, а рассеивающей — мнимый.

Фокусное расстояние F — расстояние от оптического центра до главного фокуса. Оптическая сила D показывает, насколько сильно линза собирает или рассеивает свет, и вычисляется по формуле D = 1/F, если F выражено в метрах. Единица оптической силы — диоптрия (дптр); знак D у собирающей линзы положительный, у рассеивающей — отрицательный.

Как это устроено

У собирающей линзы середина обычно толще краёв, поэтому преломление на её поверхностях поворачивает параллельные лучи к главной оси. После линзы лучи сближаются и встречаются в фокусе. У рассеивающей линзы середина тоньше краёв, и лучи после преломления отклоняются от оси. Они расходятся так, будто вышли из точки перед линзой — мнимого фокуса.

На схеме главную оптическую ось проводят горизонтально, а через оптический центр O отмечают линзу вертикальной линией. По обе стороны от O на одинаковом расстоянии откладывают фокусы F: у линзы есть фокус с каждой стороны. Тонкую линзу изображают линией, потому что в построениях толщиной стекла пренебрегают и считают, что изменение направления происходит в одной плоскости.

Для построения изображения достаточно трёх главных лучей, потому что точка изображения находится там, где пересекаются преломлённые лучи или их продолжения. Луч, идущий параллельно оси, после собирающей линзы проходит через дальний фокус; у рассеивающей он идёт так, будто вышел из ближнего фокуса. Луч, направленный через фокус к линзе, после неё идёт параллельно оси. Луч через оптический центр тонкой линзы продолжается практически прямо, поэтому обычно выбирают любые два из этих трёх лучей.

У собирающей линзы положение предмета относительно F и 2F определяет вид изображения. Если предмет дальше 2F, изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное; если в 2F — действительное, перевёрнутое и такого же размера. Между F и 2F получается действительное, перевёрнутое и увеличенное изображение, а при предмете между линзой и F — мнимое, прямое и увеличенное. Так происходит потому, что меняются точки пересечения лучей: сами они пересекаются за линзой только при предмете дальше фокуса.

Положение изображения можно рассчитать по формуле тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b, где F — фокусное расстояние, a — расстояние от предмета до линзы, b — расстояние от линзы до изображения. Увеличение по модулю равно Γ = b/a = H/h, где h и H — высоты предмета и изображения. Если лучи после линзы сходятся, изображение действительное; если сходятся только их продолжения — мнимое. При расчётах расстояния и фокусное расстояние подставляют в одних единицах, а знак b указывают с учётом принятого правила знаков.

Сравнение собирающей и рассеивающей линз

Сначала сравните форму, но надёжнее всего проверить, как линза действует на параллельные лучи. Фокус рассеивающей линзы находят не по пересечению самих лучей, а по пересечению их продолжений. Таблица описывает обычные линзы в воздухе.

Разбор задач

1. Определяем линзу и строим лучи

На схеме показана линза, которая толще в середине, чем у краёв; её центр обозначен O, а по обе стороны от него на равных расстояниях отмечены точки F. Нужно определить тип линзы, найти центр и фокусы и провести два главных луча. Ориентируемся не только на форму: проверяем, сходятся ли после линзы лучи, которые до неё шли параллельно оси.

1. Поскольку середина толще краёв, а параллельные лучи за линзой сходятся, линза собирающая.
2. Оптический центр — точка пересечения линзы с главной осью, то есть O. Фокусы — обозначенные точки F на главной оси по обе стороны от O.
3. Первый луч проводим параллельно оси до линзы, а после линзы направляем через фокус на противоположной стороне. Второй луч через O продолжаем прямо, практически без отклонения.

Ответ: линза собирающая; центр O, фокусы F по обе стороны от центра. Параллельный оси луч после линзы проходит через дальний фокус, а луч через O идёт прямо.

2. Находим фокусное расстояние

Оптическая сила собирающей линзы D = 4 дптр. Требуется найти фокусное расстояние и указать, где соберётся параллельный пучок. Поскольку в формуле D = 1/F фокусное расстояние берётся в метрах, сразу используем эти единицы.

1. Выражаем F: F = 1/D.
2. Подставляем значение: F = 1/4 м = 0,25 м. В сантиметрах это 25 см.
3. Параллельные главной оси лучи после собирающей линзы сходятся в главном фокусе на расстоянии F от оптического центра.

Ответ: F = 0,25 м, или 25 см; пучок сойдётся в главном фокусе в 25 см от линзы.

3. Находим положение и размер изображения

Предмет находится на расстоянии a = 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см. Нужно определить расстояние до изображения, увеличение и его свойства. Предмет расположен дальше 2F, так как 2F = 20 см, поэтому заранее ожидаем действительное перевёрнутое уменьшенное изображение.

1. Записываем формулу тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b. Подставляем расстояния в сантиметрах: 1/10 = 1/30 + 1/b.
2. Находим 1/b = 1/10 − 1/30 = 2/30 = 1/15, значит b = 15 см. Положительное расстояние показывает, что изображение находится по другую сторону линзы и является действительным.
3. Вычисляем увеличение: Γ = b/a = 15/30 = 0,5. Значит, изображение вдвое меньше предмета; у действительного изображения оно перевёрнуто.
4. Проверяем вывод построением: луч от вершины предмета параллельно оси после линзы идёт через дальний фокус, а луч через центр продолжается прямо. Их пересечение оказывается за линзой между F и 2F, что согласуется с расчётом.

Ответ: изображение находится в 15 см от линзы, увеличение по модулю равно 0,5. Оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное в два раза.

Типичные ошибки

Собирающую и рассеивающую линзы путают, ориентируясь только на внешний вид. У линз могут быть разные формы, поэтому надёжный признак — действие на параллельный пучок: после собирающей линзы лучи сходятся, после рассеивающей расходятся. Проверьте направление лучей на выходе, а не только то, где линза толще.

Иногда считают, что любой луч после линзы проходит через фокус. Это неверно: через фокус идёт луч, который до линзы был параллелен главной оси; луч, направленный к фокусу, выходит параллельно оси. Чтобы проверить построение, обозначьте направление луча до линзы и примените к нему подходящее правило.

Фокусное расстояние могут отложить от края линзы или взять в сантиметрах при расчёте оптической силы. Его отсчитывают от оптического центра, а для формулы D = 1/F переводят в метры. Например, 10 см — это 0,10 м, поэтому оптическая сила равна 10 дптр, а не 0,1 дптр.

Мнимое изображение порой называют действительным, потому что оно видно глазом. Но действительное изображение создают сами пересекающиеся лучи, и его можно получить на экране; для мнимого пересекаются только продолжения лучей. Проверьте, можно ли поставить экран в точку изображения и получить на нём чёткую картинку.

Связь с другими темами

Для понимания линз нужны знания о преломлении света, углах падения и преломления: они объясняют, почему луч меняет направление на границе сред. Подобие треугольников помогает связывать размеры предмета и изображения и находить увеличение. Эти знания пригодятся при изучении глаза и дефектов зрения, очков, фотоаппарата, микроскопа и телескопа. В каждом из этих случаев линзы направляют свет так, чтобы получить нужное изображение.

Что запомнить

• Линза изменяет направление света благодаря преломлению на своих поверхностях.
• Собирающая линза превращает параллельный пучок в сходящийся, а рассеивающая — в расходящийся.
• Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, считают не отклоняющимся.
• Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра до главного фокуса.
• Оптическая сила измеряется в диоптриях и равна обратной величине фокусного расстояния в метрах.
• Изображение предмета строят по пересечению преломлённых лучей или их продолжений.
• Действительное изображение можно получить на экране, мнимое изображение — нельзя.