5. Закон Кулона

Определения и обозначения

Электрический заряд — физическая величина, характеризующая способность тел участвовать в электрическом взаимодействии; его обозначают q, а единицей измерения служит кулон (Кл). Заряд может быть положительным или отрицательным. Эта величина нужна, чтобы описывать свойства заряженных тел и рассчитывать силу их взаимодействия.

Точечным называют заряд, если размерами заряженного тела можно пренебречь по сравнению с расстоянием до другого тела. Это не обязательно означает, что тело действительно крошечное: важно соотношение его размера и расстояния. Такая модель позволяет считать, что весь заряд сосредоточен в одной точке, и применять простую формулу закона Кулона.

Закон Кулона описывает силу взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов. Сила зависит от величин зарядов, расстояния между ними и среды, в которой они находятся. Закон нужен для количественного расчёта электрического взаимодействия, а не только для определения, притягиваются заряды или отталкиваются.

Диэлектрическая проницаемость среды ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия зарядов в этой среде меньше, чем в вакууме. Для вакуума принимают ε = 1. Вещество ослабляет взаимодействие, поэтому при расчёте силу, полученную для вакуума, делят на ε.

Как это устроено

Знак заряда определяет направление взаимодействия: два положительных или два отрицательных заряда отталкиваются, а заряды разных знаков притягиваются. Причина в том, что электрическое взаимодействие зависит не только от величины зарядов, но и от их знаков. Силы действуют вдоль прямой, соединяющей заряды, поскольку именно на этой линии направлено взаимодействие каждой пары точечных зарядов.

Модуль силы растёт вместе с модулями обоих зарядов: если один заряд увеличить в несколько раз, сила увеличится во столько же. Если увеличить оба заряда, результат изменится в соответствии с их произведением. Расстояние действует иначе: сила обратно пропорциональна его квадрату, потому что удаление зарядов ослабляет взаимодействие особенно быстро. Например, увеличение расстояния вдвое уменьшает силу в четыре раза.

Для вакуума закон записывают так: F = k|q₁q₂|/r². Здесь F — модуль силы в ньютонах (Н), q₁ и q₂ — заряды в кулонах, r — расстояние между ними в метрах. Коэффициент k ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл² задаёт масштаб электрического взаимодействия в вакууме; вертикальные черты означают, что берут модуль произведения зарядов.

Если заряды находятся не в вакууме, силу уменьшают с учётом свойств вещества: F = k|q₁q₂|/(εr²), или F = F_вак/ε. Здесь F_вак — сила для тех же зарядов и расстояния в вакууме. Чем больше ε, тем сильнее среда ослабляет взаимодействие. Поэтому ε стоит в знаменателе, а не в числителе.

Закон применим, когда заряды неподвижны и являются точечными или их можно так рассматривать. Если заряженное тело достаточно мало по сравнению с расстоянием до другого, его размеры несущественны для расчёта. Для протяжённых тел заряд распределён по объёму или поверхности, поэтому тело мысленно делят на малые элементы и рассматривают взаимодействие между ними. Затем вклады элементов объединяют, учитывая их направления.

Сила взаимодействия точечных зарядов

Сначала выбери строку, соответствующую среде: для вакуума ε = 1, а для вещества нужно подставить его ε. Затем вычисли модуль по формуле, а характер взаимодействия определи по знакам зарядов. Последняя строка помогает быстро установить, как изменится сила при изменении расстояния.

Разбор задач

Задача 1

Два точечных заряда 2 нКл и 3 нКл находятся в вакууме на расстоянии 0,1 м. Нужно найти модуль силы их взаимодействия. Нанокулон — это 10⁻⁹ Кл, поэтому перед подстановкой переведём заряды в кулоны. Для модуля силы знаки зарядов не нужны.

1. Запишем формулу для вакуума: F = k|q₁q₂|/r².
2. Переведём заряды: q₁ = 2·10⁻⁹ Кл, q₂ = 3·10⁻⁹ Кл.
3. Подставим значения: F = 9·10⁹·(2·10⁻⁹)(3·10⁻⁹)/(0,1)² = 5,4·10⁻⁶ Н.

Расстояние обязательно возводим в квадрат, а не просто делим на 0,1. Полученная сила мала, что согласуется с очень небольшими зарядами. Ответ: F = 5,4·10⁻⁶ Н.

Задача 2

Заряды 4 нКл и −2 нКл разделены расстоянием 6 см и находятся в среде с ε = 3. Требуется найти модуль силы и определить, как взаимодействуют заряды. Сначала приведём все величины к единицам СИ: сантиметры — к метрам, нанокулоны — к кулонам. Отрицательный знак второго заряда важен для определения взаимодействия, но не для вычисления модуля.

1. Запишем формулу для среды: F = k|q₁q₂|/(εr²).
2. Переведём единицы: q₁ = 4·10⁻⁹ Кл, q₂ = −2·10⁻⁹ Кл, r = 0,06 м.
3. Вычислим модуль: F = 9·10⁹·|4·10⁻⁹·(−2·10⁻⁹)|/(3·0,06²) ≈ 6,7·10⁻⁶ Н.
4. Сравним знаки: они разные, значит, заряды притягиваются.

Деление на ε уменьшает результат по сравнению с расчётом в вакууме. Знак минус не превращает модуль силы в отрицательное число, а показывает, что заряды разноимённые. Ответ: F ≈ 6,7·10⁻⁶ Н; заряды притягиваются.

Задача 3

Силу взаимодействия двух зарядов уменьшили в 9 раз, не меняя заряды и среду. Нужно определить, как изменилось расстояние между ними. Поскольку заряды и среда прежние, меняется только расстояние в знаменателе закона. Обозначим начальные силу и расстояние F₁ и r₁, конечные — F₂ и r₂.

1. Из закона Кулона следует отношение F₂/F₁ = r₁²/r₂².
2. По условию F₂/F₁ = 1/9, значит, r₂²/r₁² = 9.
3. Извлечём квадратный корень: r₂/r₁ = 3.

Берём положительное значение отношения, потому что расстояние не может быть отрицательным. Чтобы сила стала меньше в 9 раз, расстояние нужно увеличить в √9 = 3 раза. Ответ: расстояние увеличилось втрое.

Типичные ошибки

Подстановка заряда в нанокулонах или микрокулонах без перевода в кулоны меняет результат во много раз. Так ошибаются, когда забывают, что коэффициент k задан для единиц СИ. Перед вычислением проверь, что заряд выражен в кулонах, расстояние — в метрах, а единицы согласованы. Полезно отдельно записать перевод: 1 нКл = 10⁻⁹ Кл.

Если в знаменателе записать r вместо r², получится неверная зависимость силы от расстояния. Ошибку часто допускают, торопясь подставить числа и не сверив запись с формулой закона. Проверь, что квадрат относится ко всему расстоянию между зарядами. Контрольный пример: при удвоении расстояния сила должна уменьшиться в четыре раза, а не в два.

Отрицательное произведение зарядов не означает отрицательный модуль силы. В формуле модуля используют |q₁q₂|, а знаки зарядов нужны для определения притяжения или отталкивания. Путаница возникает, когда модуль силы смешивают с направлением вектора. Проверь ответ: величина F должна быть неотрицательной, а характер взаимодействия укажи отдельно.

Забыв учесть среду, можно получить силу, как будто заряды находятся в вакууме; умножение на ε, наоборот, необоснованно увеличит её. Такое случается, если не следить за смыслом диэлектрической проницаемости. Сила в среде меньше вакуумной в ε раз, поэтому нужно делить на ε. Проверь здравый смысл результата: при ε > 1 значение должно уменьшиться.

Связь с другими темами

Перед изучением закона полезно знать, что называют электрическим зарядом и кулоном, а также помнить правило взаимодействия зарядов: одноимённые отталкиваются, разноимённые притягиваются. Эти представления помогают отличать величину силы от её направления и понимать знаки в расчётах. Без них формула остаётся набором символов.

Закон Кулона пригодится при изучении электрического поля: поле описывает действие зарядов в пространстве, а принцип суперпозиции позволяет учитывать несколько источников взаимодействия. Закон даёт способ находить силу, действующую между отдельными зарядами. Затем его результаты используют для анализа более сложных систем.

Закон Кулона связан с законом всемирного тяготения: в обоих случаях сила зависит от произведения характеристик тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния. Но гравитация всегда приводит к притяжению, тогда как электрические заряды могут как притягиваться, так и отталкиваться. Сравнение помогает увидеть общую математическую форму и различие физических взаимодействий.

Что запомнить

• Закон Кулона описывает взаимодействие неподвижных точечных зарядов.
• Модуль силы в вакууме равен F = k|q₁q₂|/r².
• Сила прямо пропорциональна произведению модулей зарядов.
• Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами.
• Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые — притягиваются.
• В среде сила уменьшается в ε раз по сравнению с вакуумом.
• Силы, с которыми заряды действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению.