Сила Лоренца

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу. Её обозначают Fₗ, а модуль рассчитывают по формуле Fₗ = |q|vB sin α. Формула нужна, чтобы найти величину воздействия поля при известных заряде, скорости и направлении движения.

Заряд частицы q — физическая величина, которая характеризует её электрические свойства и определяет действие электрических и магнитных сил. Заряд бывает положительным и отрицательным, а его значение измеряется в кулонах. В формуле силы стоит |q|, модуль заряда: он показывает величину силы, тогда как знак заряда нужен для определения её направления.

Угол α — угол между направлением скорости частицы и направлением магнитной индукции B. Множитель sin α учитывает, насколько движение направлено поперёк поля: при α = 90° сила максимальна, а при α = 0° или 180° равна нулю. Поэтому одной скорости и величины поля недостаточно, чтобы определить силу.

Правило левой руки помогает определить направление силы Лоренца для положительного заряда. Левую руку располагают так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а четыре пальца указывали направление скорости; отогнутый большой палец показывает направление силы. Для отрицательного заряда результат нужно развернуть на 180°.

Как это устроено

Магнитное поле действует магнитной силой на движущиеся заряды: движение заряда связано с электрическим током, а магнитное поле взаимодействует с токами. На покоящийся заряд магнитная сила не действует, потому что скорость равна нулю и в формуле Fₗ = |q|vB sin α сила тоже обращается в ноль. Это относится именно к магнитной составляющей силы; электрическое поле, если оно есть, может действовать на заряд и в покое.

Величина силы растёт прямо пропорционально модулю заряда, скорости и магнитной индукции: если одну из этих величин увеличить вдвое, сила при прочих равных тоже увеличится вдвое. Угол определяет поперечную составляющую движения относительно поля, поэтому в формуле появляется sin α. При движении поперёк поля синус равен единице, а вдоль поля — нулю, и магнитная сила отсутствует.

Направление силы Лоренца в каждый момент перпендикулярно скорости частицы и линиям магнитной индукции. Работа силы зависит от составляющей силы вдоль перемещения, но такой составляющей здесь нет: сила всё время направлена поперёк движения. Поэтому магнитное поле не меняет кинетическую энергию частицы и модуль её скорости, а только поворачивает вектор скорости.

Для положительного заряда направление силы находят правилом левой руки: поле должно входить в ладонь, четыре пальца направляют по скорости, большой палец показывает силу. Если заряд отрицательный, его действие на поле направлено противоположно действию положительного заряда при тех же направлениях скорости и поля. Поэтому найденную для положительного заряда силу нужно мысленно развернуть в обратную сторону.

Когда скорость направлена перпендикулярно однородному магнитному полю, сила Лоренца всё время перпендикулярна движению и играет роль центростремительной силы. Она поворачивает частицу, не меняя скорость по модулю, поэтому траектория становится окружностью. Если у скорости есть и составляющая вдоль поля, сила на неё не действует: частица одновременно движется по окружности поперёк поля и прямо вдоль него, отчего траектория становится винтовой.

Сила Лоренца и движение заряженной частицы в магнитном поле

В таблице сравниваются условия движения, значение силы, её направление и форма траектории. Для определения силы сначала проверьте, есть ли у скорости составляющая поперёк поля; затем учтите знак заряда при выборе направления. Если частица покоится или движется вдоль поля, направление силы указывать не требуется: сила равна нулю.

Разбор задач

Найти модуль силы

Частица движется со скоростью 2·10⁶ м/с перпендикулярно полю с индукцией 0,3 Тл; заряд равен 1,6·10⁻¹⁹ Кл. Нужно найти силу Лоренца. Поскольку угол между скоростью и полем равен 90°, используем sin 90° = 1. В результате останется перемножить модуль заряда, скорость и индукцию.

1. Запишем формулу: Fₗ = |q|vB sin α.
2. Подставим значения: Fₗ = 1,6·10⁻¹⁹ · 2·10⁶ · 0,3 · 1 Н.
3. Перемножим числа и степени десяти: 1,6 · 2 · 0,3 = 0,96, а 10⁻¹⁹ · 10⁶ = 10⁻¹³.
4. Получим Fₗ = 0,96·10⁻¹³ Н = 9,6·10⁻¹⁴ Н.

Ответ: 9,6·10⁻¹⁴ Н. Проверка: угол прямой, поэтому сила должна быть максимальной при заданных q, v и B. Единица результата — ньютон, как и для любой силы.

Определить направление силы

Положительно заряженная частица движется вправо, магнитное поле направлено от наблюдателя за плоскость рисунка. Чтобы применить правило левой руки, представим, что поле входит в ладонь, а четыре пальца вытянуты вправо. Большой палец показывает силу для положительного заряда; для отрицательного знак заряда изменит её направление на обратное.

1. Направим левую ладонь к полю: линии поля входят в неё, то есть направлены от наблюдателя.
2. Вытянем четыре пальца вправо, по скорости положительной частицы.
3. Отогнутый большой палец будет направлен вверх — туда действует сила на положительный заряд.
4. Для отрицательного заряда развернём результат: сила будет направлена вниз.

Ответ: для положительного заряда сила направлена вверх, для отрицательного — вниз. Это направление перпендикулярно и скорости, и магнитному полю. Если изменить направление движения или поля, направление силы также изменится.

Найти радиус траектории

Частица с зарядом q и массой m влетает перпендикулярно однородному магнитному полю со скоростью v. Для такого движения сила Лоренца равна |q|vB и направлена к центру окружности. Значит, она служит центростремительной силой; приравняем её величину к mv²/R и выразим радиус.

1. Запишем равенство сил: |q|vB = mv²/R.
2. Умножим обе части на R и разделим на |q|vB: R = mv²/(|q|vB).
3. Сократим один множитель v: R = mv/(|q|B).
4. При увеличении скорости вдвое радиус тоже увеличится вдвое, если масса, заряд и поле не меняются.

Ответ: R = mv/(|q|B). Быстрая частица изгибает траекторию слабее и движется по окружности большего радиуса. Увеличение индукции B или модуля заряда, наоборот, уменьшает радиус.

Типичные ошибки

Используют формулу Fₗ = |q|vB при любом угле. Так можно поступать только при движении перпендикулярно полю, когда sin α = 1; в общем случае множитель sin α обязателен. Проверьте угол: если скорость направлена вдоль поля, сила должна получиться нулевой, а формула без синуса этого не покажет.

Считают, что магнитное поле разгоняет частицу и увеличивает её скорость по модулю. Это неверно, потому что сила Лоренца перпендикулярна движению и не совершает работы. Проверка простая: если сила не имеет составляющей вдоль перемещения, она может повернуть скорость, но не увеличить кинетическую энергию.

Применяют правило левой руки, не учитывая знак заряда. Само правило в описанном виде задаёт направление для положительной частицы; у отрицательной оно противоположное. Чтобы проверить ответ, сначала определите направление для положительного заряда, а затем явно поменяйте его для отрицательного.

Полагают, что сила направлена вдоль скорости или магнитной индукции. На самом деле при ненулевой силе она перпендикулярна обоим направлениям, поэтому и изгибает траекторию. Проверьте геометрию: сила должна быть поперечной к скорости и к полю, а при скорости вдоль поля должна исчезнуть.

Связь с другими темами

Для изучения силы Лоренца нужны понятия магнитного поля, магнитной индукции, заряда и скорости, а также умение находить центростремительную силу. Сила Ампера описывает действие магнитного поля на проводник с током; ток, в свою очередь, представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц. Поэтому сила Лоренца помогает перейти от описания действия поля на проводник к действию поля на отдельную частицу.

Движение частиц в магнитном поле используют в масс-спектрографах, где частицы разделяют по их движению, и в ускорителях. Радиус траектории зависит от массы, заряда, скорости и индукции, что позволяет управлять пучками частиц и изучать их свойства. Таким образом, формула связывает движение отдельной частицы с принципами работы приборов.

Что запомнить

• Сила Лоренца действует на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле.
• Модуль силы Лоренца равен Fₗ = |q|vB sin α.
• При покое частицы или движении вдоль магнитного поля сила Лоренца равна нулю.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы и магнитной индукции.
• Магнитное поле не изменяет кинетическую энергию частицы.
• При движении перпендикулярно полю частица движется по окружности.
• Для отрицательного заряда направление силы противоположно направлению, найденному по правилу левой руки для положительного заряда.